２次関数の最小値、最大値を求める問題なのですが。

質問

x、yを変数とするとき６x＾2+６xy+３y＾2－６xー４y+３の最小値を求め、その時のx、yの値を求めなさい。という問題です。できたら回答の方を詳しく教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

2変数問題として、どちらかを固定して‥‥とやったら、共に2次だから　計算が面倒になる。
初歩的な判別式という手を使おう。

６x＾2+６xy+３y＾2－６xー４y+３＝kとして、xの2次方程式と見ると、6x＾2＋6(y-1)x＋(3y＾2-4y+3-k)＝0　‥‥(1)　であり、xは実数から　判別式≧0
結果は、3y＾2-2y＋3-2k≦0　‥‥(2)
これが、実数解を持つから、判別式≧0　→　k≧4/3
この時、(2)から　y＝1/3
k＝4/3とy＝1/3を(1)に代入すると、x＝1/3.
以上から、最小値は　4/3　で、そのとき(x、y)＝(1/3、1/3)。

お礼

本当にありがとうございます。助かりました。

回答No.2

mister_moonlight

変域の指定のない変数分離の2変数問題なので、次の処理方法も有効のようだ。

Ｐ＝６x＾2+６xy+３y＾2－６xー４y+３＝6x＾2-6(1-y)x＋(3y＾2ー4y+3)＝6{x-(1-y)/2}＾2＋1/2{3y＾2ー2y+3}＝6{x-(1-y)/2}＾2＋(3/2)*(y-1/3)＾2＋4/3≧4/3。
この時、y-1/3＝0、and、x-(1-y)/2＝0　→　x＝1/3.

と、なつて同じ結果になる。