最小値を求める問題

質問

xを実数とするとき、次の式を最小にするxの値と最小値を求めなさいという問題です。

√(x^2+6x+25) + √(x^2-12x+40)

平方完成すると、= √{(x+3)^2+16} + √{(x-6)^2+4}
前半を最小にするx=-3,後半を最小にするx=6はわかるのですが、それぞれの値が違います。
両方を同時に最小にするxの値がないとき、前半＋後半の最小値をどう求めたらいいですか。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

f(x)=√(x^2+6x+25) + √(x^2-12x+40)
とおけば、
f’(x)=(x+3)/√(x^2+6x+25) + (x-6)/√(x^2-12x+40)
={(x+3)√(x^2-12x+40)+(x-6)√(x^2+6x+25)}/{√(x^2+6x+25)√(x^2-12x+40)}

(x+3)√(x^2-12x+40)+(x-6)√(x^2+6x+25)=0
のとき、f(x)は極値となるので、
(x+3)√(x^2-12x+40)=-(x-6)√(x^2+6x+25)
の両辺を２乗して、xの範囲に注意して解けばxが求まります。

お礼

回答ありがとうございます。
f’(x)って微分ですよね。
f(x)=x^2+6x+25ならf’(x)=2x+6になるのは知ってます。
f(x)=√(x^2+6x+25)だとf’(x)=(x+3)/√(x^2+6x+25)なんですか。
f’(x)=√(2x+6)じゃないなら、数学IA・IIBの問題集なので習ってないのかもしれません。

回答No.5

momordica

無理関数の微分は範囲外ですか。それならとりあえず図形的に解いてみます。

与式の根号の中を平方完成すると、
　√(x^2+6x+25) + √(x^2-12x+40)
　=√((x+3)^2+16) + √((x-6)^2+4)
となります。
ここで、座標平面上に3点 A(-3, -4), B(x, 0), C(6, 2) をとると、
　AB=√((x+3)^2+16)　　BC=√((x-6)^2+4)
となりますから、AB+BCが最小となるのはA, B, Cが一直線に並ぶ時です。
直線ACは
　y=(2/3)x-2
なので、Bがこの直線上にあるなら、
　x=3
またこの時、
　AB+BC=AC=3√13
よって、x=3のとき、最小値3√13をとることがわかります。

期待されている答えかどうかは分かりません。

お礼

とてもわかりやすい回答、どうもありがとうございます。
この求め方なら、よく理解できます。
疑問がやっと解決して、一息つけました。

回答No.4

R_Earl

相加相乗平均の関係式を使って相加平均の最小値を求める問題はよくあります。
そのような問題ではANo.2の方が書かれたような方法で解く事が多いのですが、
今回の問題ではその方法は使えません。
ANo.2の方の方法で最小値が出せるのは、次の2つの条件を満たす時だけです。
[1] 相乗平均がa, bの値に依らずに定数になる
[2] a = bが成立する
今回は[1]の条件を満たしていないので使えません。

もし[1]の条件を満たして

(a + b)/2 ≧ c　（cは定数）

となるなら、「相加平均(a + b)/2はある定数c以上の値しか取れない」
という事になります。また、[2]の条件を満たして不等式の等号が成立するなら、
「(a + b)/2はcの値を取る事ができる」という事も分かります。
なのでこの場合、
「不等式の等号が成立する時に(a + b)/2は最小値cをとる」
という事になります。

今回は相乗平均が定数ではないので、この論法が成り立ちません。
不等式の等号が成立するなら(a + b)/2は√(ab)と同じ値を取る事にはなります。
でも√(ab)の値が(a + b)/2の最小値になる保証が(先ほどと違って)ありません。

例えばf(x) = x^2, g(x) = 2x - 1の時、常にf(x) ≧ g(x)が成り立ちます
(y = f(x)とy = g(x)のグラフを同じ座標軸上に描くと分かります)。
でもこの場合、f(x) = g(x)が成り立ってもf(x)は最小値を取りません。
この不等式の等号が成立するのはx = 1の時です。
不等号の等式が成立するなら、y = f(x)とy = g(x)のグラフはx = 1で接します。
でも「y = f(x)とy = g(x)のグラフが接する事」と
「f(x)が最小値をとる事」は関係がありません。
なので

f(x) ≧ g(x)という不等式が成り立ち、かつf(x) = g(x)となるなら、
不等式の等号が成立する時にf(x)が最小値を取る

という考えは誤りという事になります。

> 難しい微分を使わないと解けない問題なのでしょうか。

ANo.1の方の回答は数3で習う微分法を使っています。
数3の微分法を使わない方法が無いか考えているのですが、
私はまだ思いついていません。
ちなみに、どの分野の問題かは分かりますか？

お礼

相加平均と相乗平均の関係と、最小値を求める問題との関係を詳しく解説してくださってありがとうございました。
参考にします。

補足

図形と方程式の、点と直線の範囲の問題です。
どうかよろしくお願いします。

回答No.3

nag0720

＃１です。

答だけ書くと、
x=3のとき、最小値＝3√13

＃２さんの考え方は、「a+bはa=bのとき最小になる」と言っているような・・・？？？

お礼

ANo.1で

＞(x+3)√(x^2-12x+40)=-(x-6)√(x^2+6x+25)
＞の両辺を２乗して、xの範囲に注意して解けばxが求まります。

とありましたが、両辺を２乗して解いてみたらx=3, 15となりました。
でもx=15は解になりませんね。
xの範囲に注意して解くことの意味は、自分で考えてみます。
ありがとうございました。

補足

問題集に答えだけのっていて、x=3のとき、最小値＝3√13なのはわかるのですが、求め方が理解できなくて困っています。
難しい微分を使わないと解けない問題なのでしょうか。

回答No.2

spring135

＞√(x^2+6x+25) + √(x^2-12x+40)

a=√(x^2+6x+25)≧0,
b=√(x^2-12x+40)≧0
相加平均、相乗平均の関係より

a+b≧2√（ab)

=はa=bのとき成立する。

a=bを満たすxはx=5/6

xに制限はないのでこの値をとることができる。
この時a+bは最小値をとり
最小値は1105/36

お礼

回答ありがとうございます。
何回読み直しても、仰る意味が（なんとなくですが）よくわかりません。
けど、x>0 のとき x+(1/x) の最小値を求める問題で似たような解き方をしたので、相加平均と相乗平均の関係を使うという考えはとても参考になりました。