このような立体の重心を、積分で求めたいです。

質問

下図のような回転体の重心を求めたいです。

体積Vは求めることができました。
V =∫<0→h>π{a+√(r^2-x^2)}^2・dx
=π{ h(a^2+r^2-h^2/3)+a(h√(r^2-h^2) + r^2・arcsin(h/r) }

3DCADで色々な寸法でモデリングしてみたら、上の答えは合っているようです。

重心を自分で計算してみたら、以下のようになりました。
G =1/V∫<0→h>xdV
=1/V∫<0→h>xπ{a+√(r^2-x^2)}^2・dx
=π/V∫<0→h>{a^2x + r^2x - x^3 + 2ax√(r^2-x^2)}dx
=π/V[a^2・x^2/2 + r^2・x^2/2 - x^4/4 + 2a{-(r^2-x^2)^(3/2)}/3]<0→h>
=π/V{a^2・h^2/2 + r^2・h^2/2 - h^4/4 - 2a/3(r^2-h^2)^(3/2)}

この答えは合っていませんでした。
どこが間違っているのでしょうか？
読みにくくて申し訳ないのですが、どなたか解いて下さいませんか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

Vの答えは合っています。

Gの答えも最後の式を除いて合っています。
最後の式は
>G=π/V{a^2*h^2/2 + r^2・h^2/2 - h^4/4 - 2a/3(r^2-h^2)^(3/2)}
正しい式は
G=(π/V){(1/2)(a^2+r^2)*h^2+(2/3)ar^3-(1/4)h^4-(2/3)a(r^2-h^2)^(3/2)}
です。{ }内の「(2/3)ar^3」の項が抜けていました。

お礼

info22様、ありがとうございます！
3DCADの値と合いました！
恥ずかしながら、なぜ「(2/3)ar^3」の項が入るのか、分からないですが・・・。
（高校時代、数学の授業は、ほぼ睡眠していました。）

昨日から考え続けていたので、正解が分かって、とても助かりました。
また、info22様のカッコの括り方は分かりやすく感じました。
その点も参考にさせていただきます。