次の積分は発散するかどうか

質問

次の積分は発散しますか？

積分問題：　　　∫[0～∞]exp(-x^2/4)｛∫[0～x]exp(r^2/4)dr｝dx

exp(-x^2/4)と∫[0～x]exp(r^2/4)dr との積をxについて0から∞まで積分すると発散するかどうかということです。
exp(-x^2/4)｛∫[0～x]exp(r^2/4)dr｝についてはxを∞にとばすとこれは0に収束することが示すことができました。0に収束するのでこの問題となっている積分がもしかしたら収束するかもしれないし発散するかもしれないしというところです。

回答No.5

siegmund · ベストアンサー

ask-it-aurora さんの

(1)　∫[0～∞]du (1/u) exp(-u^2)

まではその通りと思いますが

(2)　∫[0～∞]du (1/u) exp(-u^2)
　　　= [(-1/(2u^2)) exp(-u^2)] - ∫du (1/u^3) exp(-u^2)

としてしまうと右辺第１項から 1/u^2 のオーダーの発散，
同様に部分積分を繰り返すと 1/u^4，1/u^6，・・・
と出てきて，正しい漸近形を与えません．

(1)の発散は積分の下限 u～0 で起こりますから，
exp(-u^2)→1 を考えれば log u で発散するのは明らかです．
ちゃんとやるには部分積分を

(3)　∫[0～∞]du (1/u) exp(-u^2)
　　　= [(log u) exp(-u^2)] + 2∫[0～∞]du (log u) u exp(-u^2)
とすればよいでしょう．

なお，x で積分する前のものは本質的に

(4) F(x) = exp(-x^2) ∫[0～x] exp(y^2) dy

で Dawson 積分として知られています．
http://en.wikipedia.org/wiki/Dawson_function
や
http://mathworld.wolfram.com/DawsonsIntegral.html
をご覧ください．

ask-it-aurora さん，批評がましくて失礼しました．

お礼

No4さんとNo5さんありがとうございます。
∫[0～∞]du(1/u)exp(-u^2)の評価についてですが、部分積分をしなくても
積分区間を[0,1]と[1,∞)に分けて
∫[0～1]du(1/u)exp(-u^2)≧exp(-1)∫[0～1]du(1/u)→∞
であるから[0,1]では発散し、[1,∞)では発散しても収束しても正であるから∫[0～∞]du(1/u)exp(-u^2)は発散することですかね。Dawson積分はぜひ勉強しようと思います。URLありがとうございます。

回答No.4

ask-it-aurora

発散します.

かんたんに示すために u = (x - y)/2, v = (x + y)/2 で定義される変数変換 T: (x, y) |--> (u, v) をしましょう. ヤコビアンは 2 なので, もとの積分は

∫[0～∞]dx exp(-x^2/4)｛∫[0～x]dy exp(y^2/4)｝=
∫[D]dxdy exp((y^2 - x^2)/4) =
2∫[T(D)] dudv exp(-uv)

となります. ただし積分範囲を D = { (x, y) : 0 < y < x } とおいたのでT(D) = { (u, v) : 0 < u < v } です. こうすれば後ろの部分の積分はかんたんに

∫[0～∞]du ∫[u～∞]dv exp(-uv) =
∫[0～∞]du [(-1/u) exp(-uv)] =
∫[0～∞]du (1/u) exp(-u^2)

とかけます. が, 最後の積分は部分積分をすると

∫du (1/u) exp(-u^2) =
[(-1/(2u^2)) exp(-u^2)] - ∫du (1/u^3) exp(-u^2)

となり最初の境界項が u → 0 の極限で発散してしまいます. したがって問題の積分も発散します. □

お礼

証明ありがとうございます。私の証明については次の質問にて載せようと思います。

回答No.3

ibm_111

訂正

なぜか

　　(与式)>定数(チェック)∫[0,∞)exp(r^2/8)dr=∞

と出てますが、

　　(与式)>定数 （掛け算記号x） ∫[0,∞)exp(r^2/8)dr=∞

です。

お礼

証明ありがとうございます。私の証明については次の質問にて載せようと思います。

補足

最初はそのようにやってみましたが、rの積分範囲はxに依存するので積分順序交換はできないと思いました。これ実は私自身既に証明方法が一応できたのですが、あまりなかなか使われないテクニックで厳密さにあやふやで証明に自信があるかなということと、もっと簡単な証明があるのかなということで質問をしました。つまり厳密でこの証明として定番な証明、あるいはさまざまな証明法を知っていればお願いしたいと思います。
私の証明を載せてほしいと希望があれば載せます。

回答No.2

ibm_111

たぶん発散します。
検算してみてください。

検算方法は以下。
1.　xとrの積分順序を交換
2.　∫[r,∞)exp(-x^2/4)dxみたいな式が出てくるのでこれを評価
　　∫[0,∞)exp(-x^2/4)dxの計算方法を思い出す。
　　面倒か忘れたなら
　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86
　　の真ん中付近に出てくる不等式を利用する（同じ事ですが）。
3.　これで積分がひとつ消えて
　　(与式)>定数(チェック)∫[0,∞)exp(r^2/8)dr=∞

これで分からなければ土日に回答します。
もちろんもっと親切な回答者を待ってみてもよいです。

お礼

証明ありがとうございます。私の証明については次の質問にて載せようと思います。

回答No.1

Tacosan

発散するんじゃない?

お礼

証明ありがとうございます。私の証明については次の質問にて載せようと思います。