高校数学の三角関数の解法を教えて下さい

質問

f(θ)=ａsinθ-2sin3θとする。
0<θ<πにおいて、f(θ)-4sin^2θcosθ≠0であるとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。

ぜひ、解法を教えて下さい。お願いいたします。

ヒントでも構いません。

回答No.1

USB99 · ベストアンサー

a sin θ -2 sin 3θ = 4 sin^2 θ cos θ
a sin θ = 4 sin^2 θ cos θ + 2 sin 3θ
sin3θ=sin（2θ+θ)より
=4 sin^2 θ cos θ +2 (sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ)
sin2θ=2sinθcosθより
= 4 sin^2 θ cos θ + 2 (2 sin θ cos^θ+cos 2θ sin θ)
sinθは0はとらないから
a=4sinθcosθ + 2(2cos~2 θ +cos 2θ)
cos2θ=2cos^2-1より
=2 sin2θ +2(cos 2θ+1 +cos 2θ)
=2 sin2θ +4 cos 2θ +2
=√（2^2＋4^2）sin（2θ＋α）＋2

aが2+/-2√5の範囲であれば、θのある値でf(θ)-4sin^2θcosθを0になる

よって、上記範囲以外

計算間違いしているかも

回答No.2

info22_

f(θ)-4*sin^2(θ)*cos(θ)≠0の左辺を計算すると
左辺=a*sin(θ)-2*sin(3θ)-4*sin^2(θ)*cos(θ)
3倍角の式で展開してsin(θ)で括ると
=sin(x){2sin^2(x)-4cos(x)sin(x)-6cos^2(x)+a}
２倍角の角の公式を逆に適用して
=sin(x){1-cos(2x)-2sin(2x)-3(1+cos(2x)+a}
=sin(x)[a-2-2{sin(2x)-2cos(2x)}]
=sin(x){a-2-2√5sin(2x+arctan(2))}
0<θ<πで sin(x)>0 なので
左辺≠0となるための必要十分条件は
a-2-2√5sin(2x+arctan(2))≠0
つまり
a≠2+2√5sin(2x+arctan(2)) ...(A)

右辺をg(x)とおくと
g(x)=2+2√5sin(2x+arctan(2))
g(x)は周期πの関数で0<θ<πの範囲で
2-2√5≦g(x)≦2+2√5
であるから
(A)が常に成り立つ為の必要十分条件は
a<2-2√5　または　a>2+2√5　…　(答え)
である。

このとき、y=g(x)とy=aのグラフは交点を持たないから
g(x)≠a　となります。