数II 三角関数 解法

質問

原点Ｏ(0，0)を中心とする半径1の円上の

4点Ｅ(1，0)、Ａ(cosθ，sinθ)、Ｂ(cos2θ，sin2θ)、

Ｃ(cos3θ，sin3θ)を考える。ただし、0<θ≦π/3とする。

(１)　△ＡＢＣの面積ＳIをｓｉｎθとｃosθを用いて表せ。

(２)　△ＯＡＣ　の面積ＳIIが△ＡＢＣの面積と等しくなるときのθの値をもとめよ。

この問題の詳しい解法をお願いします

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

いろんな解き方が考えられるが、私なら以下のように解く。

教科書に載ってるはずだが、3点Ｏ（0、0）、Ｐ（x1、y1）、Ｑ（x2、y2）で作る三角形の面積Ｓは、2Ｓ＝｜x1*y2-x2*y1｜。
従って、3点Ｐ（x1、y1）、Ｑ（x2、y2）、Ｒ（x3、y3）で作る三角形の面積Ｓは、原点Ｏを点Ｒに平行移動したと考えると良いから、2Ｓ＝｜（x1-x3）*（y2-y3）-（x2-x3）*（y1-y3）｜。

従って、2*△ＡＢＣ＝｜（cos3θ-cosθ）*（sin2θ-sinθ）ー（cos2θ-cosθ）*（sin3θ-sinθ）｜＝絶対値の中を展開して計算すると＝2｜sinθ*（cosθ-1）｜＝2sinθ*（1-cosθ）‥‥(1)
又、2*△ＯＡＣ＝｜cos3θ*sinθ-cosθ*sin3θ｜＝sin2θ＝2*sinθ*cosθ　‥‥(2)
よって、(1)＝(2)より、2sinθ*（1-cosθ）＝2*sinθ*cosθ　であるから、cosθ＝1/2.
0＜θ≦π/3であるから、θ＝π/3.

計算に自信なし、チェックしてね。

お礼

理解できました
本当にありがとうございました

回答No.3

gohtraw

（１）△ＯＡＢの二倍から△ＯＡＣを引けばいいと思います。それぞれの面積は容易に出ますよね？
（２）それぞれの面積はθを含む式で表わされるのでそれを等しいとおけばいいと思います。

回答No.2

mister_moonlight

＞いろんな解き方が考えられるが

△ＡＢＣの面積については、点Ａ、Ｂ、Ｃからx軸に垂線を下して、その足を各々　Ｐ、Ｑ、Ｒとする。
とすると、Ｐ（cosθ、0）、Ｑ（cos2θ、0）、Ｒ（cos3θ、0）であるから、△ＡＢＣ＝台形ＡＢＱＰ＋台形ＢＣＲＱ-△ＡＯＰ-△ＣＲＯとして求めても良い。
又、△ＡＯＣの面積については、△ＡＯＣ＝台形ＡＣＲＰ-△ＡＰＯ-△ＣＲＯとして計算しても良い。