三角関数の問題がわかりません・・・

質問

三角関数の問題がわかりません・・・

関数f(θ)＝6sinθcosθ-8sin^3θcosθ+2cos^2θ-1について、

(1)sin2θ+cos2θ=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。

(2)f(θ)をtを用いて表せ。

(3)f(θ)の最大値を求めよ。

という問題なのですが、
丸投げな質問ですみません。ですが問題がさっぱり？で解こうにも解けませんでした。
この問題のヒントとして
(2)は
f(θ)＝sin2θ+cos2θ+2sin2θcos2θ

と書いてあったのですがこれも？でした。どうか解き方を教えてください。お願いします!

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

（1）sin2θ+cos2θ=tはθに制限がないとき単振動の合成より
t=√2sin(2θ+π/4）よって
-√2≦ｔ≦√2
（2）倍角公式より
6sinθcosθ-8sin^3θcosθ+2cos^2θ-1
=3sin2θ-4sin2θ(sin^2θ)+cos2θ
=sin2θ(3-4sin^2θ)+cos2θ
=sin2θ(4cos^2θ-1)+cos2θ
=sin2θ(4cos^2θ-2+1)+cos2θ
=sin2θ(2cos2θ+1)+cos2θ
=2sin2θcos2θ+sin2θ+cos2θ
=2sin2θcos2θ+t

sin2θ+cos2θ=tより
t^2=1+2sin2θcos2θ
2sin2θcos2θ=t^2-1

よって
f(θ)=t^2+t-1

(3)-√2≦ｔ≦√2のとき
f(θ)=t^2+t-1
のグラフを書いて考えればよい。
1-√2≦f(θ)≦1+√2

お礼

ありがとうございます！！