線形

質問

△ABCの辺ＡＢの中点をＤ、辺ＡＣを２：３に内分する点をＥ、線分ＣＤとＢＥの交点Ｐとする。
ベクトルＡＢ＝ベクトルa、ベクトルＡＣ＝ベクトルcとしてベクトルＡＰをベクトルa,ベクトルbであらわしてください。

回答No.1

EinStein1qqq · ベストアンサー

一般に位置を表すベクトル(ベクトルの開始点を固定して考えます)が2つ(aとbとします)あったとき、それらの終点を結ぶ線分上の点を示すベクトルは、0≦t≦1となる実数tを使って(1-t)a+tbと表せます。
この問題は、点Pが二つの線分の交点となってますから、2通りの線分の表現から点を示す式が導き出せます。

まず、線分CD上の点は
(1) ((1-t)/2)a+tb (0≦t≦1)
と書けます。次に線分BE上の点は
(2) (1-s)a+(2s/5)b (0≦s≦1)
と書けます。点Pはこの2つの線分の交点なので(1)と(2)が等しくなります。
(3) ((1-t)/2)a+tb=(1-s)a+(2s/5)b
aとbは線形独立なので、両辺のそれらの係数がぞれぞれ等しくなります。
(4) (1-t)/2=1-s, t=2s/5
この連立方程式を解くと、t=1/4になりますから、これを(1)に代入すれば、(3/8)a+(1/4)bが得られます。これが、ベクトルAPです。

回答No.3

ferien

ANo.2です。ＡＢの中点Ｄを、ＢＣの中点Ｄと勘違いしてました、訂正して再回答します。

辺ＡＢの中点をＤ　だから、
ＡＤ＝(1/2)ＡＢ＝(1/2)ａ
辺ＡＣを２：３に内分する点をＥ　だから、
ＡＥ＝(2/5)ＡＣ＝(2/5)ｂ
Ｃ，Ｐ，Ｄは一直線上にあるから、
ＣＰ＝ｍＣＤより、
ＡＰ－ＡＣ＝ｍ（ＡＤ－ＡＣ）
ＡＰ＝ｍＡＤ＋（１－ｍ）ＡＣ＝(1/2)ｍａ＋（１－ｍ）ｂ　……（１）
Ｂ，Ｐ，Ｅは一直線上にあるから、
ＢＰ＝ｎＢＥより、
ＡＰ－ＡＢ＝ｎ（ＡＥ－ＡＢ）
ＡＰ＝（１－ｎ）ＡＢ＋ｎＡＥ＝（１－ｎ）ａ＋(2/5)ｎｂ　……（２）
（１）と（２）を係数比較すると、
(1/2)ｍ＝１－ｎ，　１－ｍ＝(2/5)ｎ
これを連立方程式で解くと、
ｍ＝３／４，ｎ＝５／８　（１）か（２）に代入して、
よって、
ＡＰ＝（３／８）ａ＋（１／４）ｂ

になりました。

回答No.2

ferien

△ABCの辺ＡＢの中点をＤ、辺ＡＣを２：３に内分する点をＥ、線分ＣＤとＢＥの交点Ｐとする。
ベクトルＡＢ＝ベクトルa、ベクトルＡＣ＝ベクトルcとして
＞ベクトルＡＰをベクトルa,ベクトルbであらわしてください。

＞線分ＣＤとＢＥの交点Ｐとする。
は、線分ＡＤではないですか？またベクトルＡＣ＝ベクトルｂとして、考えてみました。

辺ＡＢの中点をＤ　だから、
ＡＤ＝(1/2)ＡＢ＋(1/2)ＡＣ＝(1/2)ａ＋(1/2)ｂ
辺ＡＣを２：３に内分する点をＥ　だから、
ＡＥ＝(2/5)ＡＣ＝(2/5)ｂ
Ａ，Ｐ，Ｄは一直線上にあるから、
ＡＰ＝ｍＡＤ＝(1/2)ｍａ＋(1/2)ｍｂ　……（１）
Ｂ，Ｐ，Ｅは一直線上にあるから、
ＢＰ＝ｎＢＥより、
ＡＰ－ＡＢ＝ｎ（ＡＥ－ＡＢ）
ＡＰ＝（１－ｎ）ＡＢ＋ｎＡＥ＝（１－ｎ）ａ＋(2/5)ｎｂ　……（２）
（１）と（２）を係数比較すると、
(1/2)ｍ＝１－ｎ，　(1/2)ｍ＝(2/5)ｎ
これを連立方程式で解くと、
ｍ＝４／７，ｎ＝５／７　（１）か（２）に代入して、
よって、
ＡＰ＝（２／７）ａ＋（２／７）ｂ

になりました。