ベクトルの問題です。

質問

ベクトルの問題です。

一辺の長さが１の正六角形ＡＢＣＤＥＦの辺ＢＣの中点をＭとする。辺ＤＥ上に∠ＡＭＰ＝π/2となる点Ｐをとり、線分ＡＰとＭＦの交点をＱとする。ＡＢ＝a、ＡＦ＝ｂとおいて次に答えよ。

１、ＡＭをa、ｂを用いて表せ。
２、ＡＰをa、ｂを用いて表せ。
３、線分ＡＱとＱＰの長さの比を求めよ。

という問題なのですが、２からつまずいてしまいました…。
ヒントだけでも教えていただけないでしょうか、宜しくお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

ベクトルの問題ですが、座標計算の問題として解くこともできます。

正六角形の中心を原点にしてxy平面に置くと、
点A(Ax,Ay)=(-1/2,√3/2)
点F(Fx,Fy)=(-1,0)
点M(Mx,My)=(1/4,√3/4)
点P(Px,Py)=(Px,-√3/2)

(AM)^2+(MP)^2=(AP)^2
↓
(Mx-Ax)^2+(My-Ay)^2+(Px-Mx)^2+(Py-My)^2=(Px-Ax)^2+(Py-Ay)^2
からPxを求める。
ベクトルAP=(Px+3/2)a+2b

線分APとMFの交点Q(Qx,Qy)を、
(Qy-Ay)/(Py-Ay)=(Qx-Ax)/(Px-Ax)
(Qy-Fy)/(My-Fy)=(Qx-Fx)/(Mx-Fx)
の連立方程式から求める。
AQ:QP=(Qx-Ax):(Px-Qx)

回答No.1

banakona

正攻法（？）：ＰがＤＥ上にあることから、まずＡＥとＡＤをそれぞれａ，ｂで表す。
　　　　　　　　（このとき、ＰがＤＥを例えばｓ：１－ｓに内分するとして変数ｓを導入）
　　　　　　　次にＡＭとＭＰが垂直であることから、ＡＭとＭＰの内積がゼロになる。
　　　　　　　　この条件からｓを求める。

少しだけ近道：下図のようにＡＦとＤＥの交点をＪとすると　ＡＪ＝２ｂ
　　　　　　　ＪＰ＝ｔａとおいて以下、ＡＭとＭＰの内積がゼロになることからｔを求める。

お礼

なるほど！
詳しい回答、大変ありがとうございました！！