高校数学B ベクトル

質問

ベクトルの質問です。

三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＣを３：１に外分する点をＤ、線分ＢＤを１：２に内分する点をＥとし、直線ＡＥと辺ＢＣの交点をＦとする。次のものを求めよ。

(1)ベクトルＡＦ＝kベクトルAEを満たす実数Kの値

(2)BF：FC

お願いします。。。

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

位置ベクトルの基点を点Ａにします。
以下、ベクトル記号省略します。

辺ＡＣを３：１に外分する点をＤより、
ＡＤ＝3/2ＡＣ

ＢＦ：ＦＣ＝ｔ：１－ｔとおくと、←ｔが決まれば(2)が求まります。
ＡＦ＝（1-ｔ）ＡＢ+ｔＡＣ・・・※1

点Ａ，Ｆ，Ｅは一直線長にあるから、
ＡＦ＝ｋＡＥ　←(1)の問題ではこのｋを求めます。

ここで△ＡＢＤに注目して、線分ＢＤを1：2に内分する点がＤであるから、内分の公式より
ＡＥ＝（2ＡＢ+ＡＤ）/3＝2/3ＡＢ+1/3ＡＤ＝2/3ＡＢ+1/3*3/2ＡＣ＝2/3ＡＢ+1/2ＡＣ

よって、ＡＦ＝ｋＡＥ＝2ｋ/3ＡＢ+ｋ/2ＡＣ・・・※2

※1、※2より、ＡＢ，ＡＣは一次独立であるので、
1-ｔ＝2ｋ/3、ｔ＝ｋ/2

連立方程式を解くと、
ｋ＝6/7、ｔ＝3/7

ゆえに、(1)ｋ＝6/7
(2)ＢＦ：ＦＣ＝3/7：4/7＝3：4

回答No.3

yyssaa

(1)ベクトルＡＦ＝kベクトルAEを満たす実数Kの値
＞メネラウスの定理により(AC/CD)*(DB/BE)*(EF/FA)=1
よって(FA/EF)=(AC/CD)*(DB/BE)=(2/1)*(3/1)=6から
FA=6*EFなので、AF/AE=6/7。
よってベクトルAF=(6/7)*ベクトルAE、k=6/7・・・答え
(2)BF：FC
＞メネラウスの定理により(BE/ED)*(DA/AC)*(FC/BF)=1
よって(BF/FC)=(BE/ED)*(DA/AC)=(1/2)*(3/2)=3/4
BF：FC=3：4・・・答え

回答No.1

k3eric

これでどうでしょう？
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