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数学!計算の仕方もお願いします。

(1)17の13乗+13の17乗の一の位の数を求めよ。 (2)840を素因数分解せよ。 (3)126と144の最大公約数を求めよ。 (4)自然数の2乗を7で割ったとき、余りとして現れない数をすべて求めよ。 (5)7で割ると2余る数の2乗と、7で割ると、3余る数の3乗を掛けた数を、7で割ったときの余りを求めよ。

みんなの回答

  • j-mini27
  • ベストアンサー率77% (42/54)
回答No.2

(1)について  1の位を求める場合は、10の位より上は無視していいです。  10の位に整数をかけても1の位に影響を与えることはないからです。   つまり17²= 289      17³ =4813      17⁴=83521   となっていきますが、1の位だけ考えて7⋇7=49 の9             これに7をかけて9⋇7=63 の3             これに7をかけて3⋇7=21 の1   という計算で1の位だけは求めることができます。    1の位だけ書いていくと     17については、7,9,3,1を繰り返します     13については、3,9,7,1を繰り返します    ちなみに、17の13乗の1の位は7         13の17乗の1の位は3です。 (2)について  840=2³⋇3⋇5⋇7 (3)について  126と144をともに訴因数分解します。   126=2⋇3²⋇7   144=2⁴⋇3²  このうち共通部分である2⋇3²=18が最大公約数です。 (4)について  まず、1~7を2乗した場合を考えます。     1²=1  1÷7=0…1     2²=4  4÷7=0…4     3²=9  9÷7=1…2     4²=16 16÷7=2…2     5²=25 25÷7=3…4     6²=36 36÷7=5…1     7²=49 49÷7=7…0  これ以上の数は、同じ余りの繰り返しになります。   これ以上の数字は、7n+a(aは1から7の整数)となり   その2乗は49n²+14an+a²です。   49n²+14anは7の倍数なので余りはありません。   a²(aは1から7の整数)の余りは上記のとおり0,1,2,4の4種類です。  よって、余りとして現れない数は0,1,2,4を除く全ての数です。 (5)について  結論から言うと、2²=4と3³=27の積である108を7で割った余り3が答えとなります。  説明をしていくと  7で割ると2余る数は7n+2、7で割ると3余る数は7m+3(n,mは整数)と表すことができます。   結論から言うと、2²=4と3³=27の積である108を7で割った余り3が答えとなります。   (7n+2)²=49n²+28n+4   (7m+3)³=343m³+441m²+189m+27  このうち(49n²+28n)と(343m³+441m²+189m)は7の倍数なので    49n²(343m³+441m²+189m+27)は7の倍数で、7で割ったときの余りは0    28n(343m³+441m²+189m+27)は7の倍数で、7で割ったときの余りは0    4(343m³+441m²+189m)は7の倍数で、7で割ったときの余りは0   残りの4⋇27=108だけが7の倍数でないため、余りが問題になります。   (厳密には27も7の倍数の21とその余り6に分けることができ、4⋇6だけでもよい。)

  • RTO
  • ベストアンサー率21% (1650/7787)
回答No.1

ヒントだけ 1) 7の4乗の一の位は1です  3の4乗の 以下同文 2)ただ割っていくだけ

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