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数学!計算の仕方もお願いします。
(1)17の13乗+13の17乗の一の位の数を求めよ。 (2)840を素因数分解せよ。 (3)126と144の最大公約数を求めよ。 (4)自然数の2乗を7で割ったとき、余りとして現れない数をすべて求めよ。 (5)7で割ると2余る数の2乗と、7で割ると、3余る数の3乗を掛けた数を、7で割ったときの余りを求めよ。
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- j-mini27
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(1)について 1の位を求める場合は、10の位より上は無視していいです。 10の位に整数をかけても1の位に影響を与えることはないからです。 つまり17²= 289 17³ =4813 17⁴=83521 となっていきますが、1の位だけ考えて7⋇7=49 の9 これに7をかけて9⋇7=63 の3 これに7をかけて3⋇7=21 の1 という計算で1の位だけは求めることができます。 1の位だけ書いていくと 17については、7,9,3,1を繰り返します 13については、3,9,7,1を繰り返します ちなみに、17の13乗の1の位は7 13の17乗の1の位は3です。 (2)について 840=2³⋇3⋇5⋇7 (3)について 126と144をともに訴因数分解します。 126=2⋇3²⋇7 144=2⁴⋇3² このうち共通部分である2⋇3²=18が最大公約数です。 (4)について まず、1~7を2乗した場合を考えます。 1²=1 1÷7=0…1 2²=4 4÷7=0…4 3²=9 9÷7=1…2 4²=16 16÷7=2…2 5²=25 25÷7=3…4 6²=36 36÷7=5…1 7²=49 49÷7=7…0 これ以上の数は、同じ余りの繰り返しになります。 これ以上の数字は、7n+a(aは1から7の整数)となり その2乗は49n²+14an+a²です。 49n²+14anは7の倍数なので余りはありません。 a²(aは1から7の整数)の余りは上記のとおり0,1,2,4の4種類です。 よって、余りとして現れない数は0,1,2,4を除く全ての数です。 (5)について 結論から言うと、2²=4と3³=27の積である108を7で割った余り3が答えとなります。 説明をしていくと 7で割ると2余る数は7n+2、7で割ると3余る数は7m+3(n,mは整数)と表すことができます。 結論から言うと、2²=4と3³=27の積である108を7で割った余り3が答えとなります。 (7n+2)²=49n²+28n+4 (7m+3)³=343m³+441m²+189m+27 このうち(49n²+28n)と(343m³+441m²+189m)は7の倍数なので 49n²(343m³+441m²+189m+27)は7の倍数で、7で割ったときの余りは0 28n(343m³+441m²+189m+27)は7の倍数で、7で割ったときの余りは0 4(343m³+441m²+189m)は7の倍数で、7で割ったときの余りは0 残りの4⋇27=108だけが7の倍数でないため、余りが問題になります。 (厳密には27も7の倍数の21とその余り6に分けることができ、4⋇6だけでもよい。)
- RTO
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ヒントだけ 1) 7の4乗の一の位は1です 3の4乗の 以下同文 2)ただ割っていくだけ