数学Iのしつもんです

質問

ｎを自然数とし、１０のｎ乗は２００！をわりきる。このようなｎの最大値はなにか？
という問題で解には１０＝５×２だから２００を素因数分解したときの５の個数である。
とかいてありました。その理由が良くわかりません。なぜ２は関係ないのですか？
長時間かんがえても根本的にわからないのでくわしく教えてください。

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

２００の階乗が１０のｎ乗で割りきれる為には、ｎが最大の時の粗因数の個数が一緒にならなければなりません。

こういう時は簡単な例で確認してみると良いと思います。

例えば、１０！　が割り切れる　６のｎ乗

１０・９・８・７・６・５・４・３・２・１　を粗因数分解すると、
５・２・３・３・２・２・２・７・３・２・５・２・２・３・２・１　　　（※　８、４　は２＾３、２＾２なのでその分は重複してカウントする）

一報６を粗因数分解すると　３・２　　（ｎ乗すると　粗因数の数はｎ倍）
１０！の　粗因数　３　の個数は　４個　、　粗因数　２の個数は、　８個

なので　ｎ　の最大はこの内小さい方ということになりますので４個。

試しに、１０！を６＾４　と６＾８　で割ってみると後者では割り切れないことが分かります。

２００！の粗因数５の個数は、下記の様にして求めることが出来ます。

２００　÷　５　＋　２００　÷　５＾２　＝　４８個　　（５＾ｋは重複してカウントする）

粗因数２の個数は、　（面倒くさいので計算してみてください。　２００　≧　２＾ｋ　となるまで、上の式の通りやれば出るはずですが、直観的も圧倒的に多いことは分かります。）

なので、ｎ＝４８。

ご参考に。

お礼

例を使って説明していただいたことによって
悩みが解決しました！！
引っかかっていたものが解消されて
本当によかったです＞＜
ありがとうございました！！

回答No.7

eco1900

これが最後の【画像４枚目】です～、もってけドロボー＾＾A。

・・・ってごめんね。ファイト！で頑張ってくださいね。

お疲れ様でした、そしてお粗末でした。ばいばい～＾＾v。

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お礼

いやぁーーよくわかりました！！
こんなに丁寧に画像まで載せていただいて
幸せです＾＾笑
ありがとうございました!!!

回答No.6

eco1900

そして、【画像３枚目】～。うりゃ！

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回答No.5

eco1900

これが【画像２枚目】です、どぞ＾＾。

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回答No.4

eco1900

この質問は表現を変えると次のようなことを質問しています。

「200！を展開すると10がいくつ掛けられているのか？」

と考えてもいいし・・・、

「200！を展開すると語尾にいくつ0が並んでいるのか？」

→ということで、「200！＝200×199×…×2×1」とはしたくないですよね。
（暇すぎます^^！）

→ということで、200！中に10のn乗＝（2×5）のn乗がいくつあるのかを考えましょう。
（これでもかなり暇がかかりますね^^A！）

「理由がよく分からない・・・」とあったので、話が長くなりましたがごめんね。

結局のところ200！の中に（2×5）n乗＝2のn乗・5のn乗としておいてnの正体を見破りましょう。

以下は、図にしておきます、良かったら参考にしてください^^ｖ。

ちなみに・・・一枚の画像にすると見にくいと感じたので全部で4枚もあります^^A（暇過ぎ！)。

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回答No.2

nattocurry

＞解には１０＝５×２だから２００を素因数分解したときの５の個数である。とかいてありました。

「２００を」じゃなくて「２００！を」の間違いですよね？

正確には、２００！を素因数分解したときの、５の個数と２の個数の少ないほうである。が正解なんだけど、２００！を素因数分解したら、明らかに、５の個数＜２の個数、ですよね。

だから、それは説明しなくても解るだろう、ということで、単に「５の個数である」と書いてあるんだと思いますよ。

お礼

そういうことだったんですね！
ありがとうございます。

回答No.1

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200！を因数分解したときに
５の個数と2の個数では圧倒的に５の個数のほうが少ないから。

お礼

回答ありがとうございました！