この数学の問題の解説をしてくださいませんか

質問

中３です。
数学の問題でわからないのがあるので、
くわしい解説をお願いします。

＜問題＞※啓林館 数学の教科書３６ページより
　９６にできるだけ小さい自然数をかけて、
ある自然数の２乗にするには、
どのような自然数をかければよいでしょうか。
　９６を素因数分解して考えなさい。

＜解答＞
　６

＜先生の解説＞
　９６を素因数分解すると、
　　９６＝３×２＾５　となる。
２は二つのセットが二つできて、一つ余る。
３は一つだけなので、２と３をかける。
　よって、
　　２×３＝６
　答えは６。

本当に意味が分かりません。
どうして素因数分解すると求められるのですか？
もうすぐテストですので、ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

noname#175206 · ベストアンサー

>９６を素因数分解すると、９６＝３×２＾５　となる。

のはいいですね。

　3×2^5＝2^4×2×3＝(2^2)^2×2×3ということもいいですね。

　もし、(2^2)^2×2×3に何か自然数を掛け、全体を整理して、n^2のように書ければいいわけです。nは幾らか、まだ分かりませんが、ある自然数です。

　もう一度、(2^2)^2×2×3をよく見ると、2^2は2乗できていますが、2と3は2乗ではありません。

　この2と3を2乗してみましょう。2に2を掛けて4、3に3を掛けて9ですが、あえて2乗の形で掛けたものを書き出してみます。

　(2^2)^2×2^2×3^2＝((2^2)×2×3)^2＝576＝96×6

　掛け算した数が、全て2乗であれば、2乗を後回しにして計算してから、それを2乗しても同じになることを使いました。

　結局、96に6を掛ければいいとなります。

　この6ですけど、これは上で2を2乗、つまり2倍、3を2乗つまり3倍したから、2×3＝6になります。全部の数が掛け算ですから。

　こういうことを先生は説明されたのでしょう。これが数を素因数分解してみて、分かることの一例だったりするわけです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
これで完全に理解できました。
そういうおもしろい理由で
この方法は成り立ってたんですね。
わかりました、ありがとうございました。

回答No.3

CC_T

まず、自然数の二乗って何でしょうか。
５×４は５の二乗でも４の二乗でもないですよね。

二乗というのは
７の二乗＝7×７＝４９
６の二乗＝6×6＝３６
とか、とにかく同じ数を二つ掛け合わせるってこと。
つまり、「ある自然数の２乗」っていうのは必ず同じ値の掛け算ペアで表されるってことです。

ここまではＯＫ？
もしここまでの理解ができなければ、n乗って何かというところまで戻って勉強が必要ですよ。

～～～
さて、９６を見てみましょう。

９６＝２×２×2×２×2×３　ですよね（素因数分解）。

この右辺を整理してみます。
＝｛（2×２）×（2×２）｝×２×３
＝（４×４）×２×３

（４×４）×２×３で、４×４はすでに掛け算ペアが成立していますが、２と３はペアがいませんね。
ですから、96に２と３のペアを与えてやらねば「ある値を二乗した数」とはならないわけです。

では実際に２と３の掛け算ペアを与えてみましょう。
96×（２×３）
＝（４×４）×２×３×（２×３）
＝４×４×６×６
＝２４×２４

ほら、２４の二乗になりました。

とまぁこんなところでいかがでしょうか。

素因数分解とは、その数は何の数の掛け算で表せるかってことを示すのです。
８を素因数分解すると２×2×２、つまり２の三乗ですね。
８１を素因数分解すると３×3×3×３、つまり３の四乗であり、同時に９の二乗でもありますね。
１１は素因数分解しても１１。１１は１１と１以外に約数を持たない「素数」の一つです。

お礼

理解できました！
本当にありがとうございました。

ということは、１１は１１をかければ、
なんかの数の二乗になるんですよね。
これで安心です。
ありがとうございました。

回答No.1

KEIS050162

ある自然数の二乗になっているということは、　二乗した数は　ｎ　×　ｎ　（ｎは自然数）　というように因数　ｎ　がペアになっている必要があります。

ｎ　を　素因数分解して、仮に　ｎ１，ｎ２，ｎ３　という風に素因数分解できるならば、それぞれの素因数も同じようにペアになっている必要があります。
ｎ　×　ｎ　＝　（ｎ１×ｎ２×ｎ３）　×　（ｎ１×ｎ２×ｎ３）

９６　を素因数分解すると、２　×　２　×　２　×　２　×　２　×　３　と、　２が五個と３が一個　になります。

２が四個分はそれぞれ二個ずつペアに分けられるので、あとペアになっていない　２、３　は、それぞれ一個ずつの因数をかけてあげる必要があるのです。

２　×　２　×　２　×　２　×　２　×　３　　×　（２　×　３）　　＝　（２×２×２×３）　×　（２×２×２×３）

（２×３）をかけてあげると、全部の因数がペアに分かれる。

なので、９６　に　２×３＝６　をかけると　自然数　２×２×２×３　＝　２４　の二乗になるのです。

これで分かりますか？

お礼

わかりました！
ご回答ありがとうございました。
これで次のテストは安心です。
勉強頑張ります。