ネピアの数がでてくる導関数について

質問

ネピアの数がでてくる導関数について解けない問題が3つありました。
考えたのですけど、答えと一致しないので、ここで質問するに至りました。
お手数ですが、宜しくお願いします。

(1)f(x)=e^2x(x^3+2x+3) 答え　(e^2x)(2x^3 + 3x^2 + 4x + 8)

(2)f(x)=(e^x^2) /(x+1) 答え (e^x^2)(2x^2 + 2x -1) / (x+1)^2

(3)f(x)=(e^x)+1 / (e^x)-1 答え (-2e^x) /(e^x - 1)^2

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

先ず以下の微分公式を確認下さい。

{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
{e^x}'=e^x
{e^(ax)}'=ae^(ax)
{e^(f(x))}'=f'(x)e^(f(x))
{f(x)e^(ax)}'={af(x)+f'(x)}e^(ax)
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2

では、本題について
(1)f(x)=(x^3+2x+3)e^(2x)
f'(x)=(x^3+2x+3){e^(2x)}'+(x^3+2x+3)'{e^(2x)}
=(x^3+2x+3){2e^(2x)}+(3x^2+2)'{e^(2x)}
={2(x^3+2x+3)+(3x^2+2)}(e^(2x))
=(2x^3+3x^2+4x+8)e^(2x)
答えと同じ。

(2)
f'(x)={(e^(x^2))(x+1)^(-1)}'
={e^(x^2)}'{(x+1)^(-1)}+{e^(x^2)}{(x+1)^(-1)}'
={(x^2)'e^(x^2)}{(x+1)^(-1)}
+{e^(x^2)}{-(x+1)^(-2)}
={2xe^(x^2)}{(x+1)^(-1)}-{e^(x^2)}(x+1)^(-2)
={2x(x+1)-1}(e^(x^2))/(x+1)^2
=(e^(x^2))(2x^2 +2x-1)/(x+1)^2

答えと同じ。

(3)
f(x)={(e^x)+1}/{(e^x)-1}
f'(x)=[{(e^x)+1}'{(e^x)-1}-{(e^x)+1}{(e^x)-1}']
/{(e^x)-1}^2
=[(e^x){(e^x)-1}-{(e^x)+1}(e^x)]
/{(e^x)-1}^2
=(e^x)[{(e^x)-1}-{(e^x)+1}]/{(e^x)-1}^2
=(e^x)(-2)/{(e^x)-1}^2
=-2(e^x)/{(e^x)-1}^2

答えと同じ。

お礼

ありがとうございます。３問ともよく理解できました。後からの補足にもこたえていただいて感謝します。

補足

ありがとうございます。考えても分からなかったので、とても感謝しています。すごくうれしいです^^
一か所だけ分からない点がありまして、
問1の　途中計算の　{2e^(2x)}の部分ですが、なぜ　次の行で　2　になるのかがわかりませんでした。
私自身の知識不足のせいなので、基本的なことかもしれませんが、宜しくお願いします。

(1)f(x)=(x^3+2x+3)e^(2x)
f'(x)=(x^3+2x+3){e^(2x)}'+(x^3+2x+3)'{e^(2x)}
=(x^3+2x+3){2e^(2x)}+(3x^2+2)'{e^(2x)}　←
={2(x^3+2x+3)+(3x^2+2)}(e^(2x))　←
=(2x^3+3x^2+4x+8)e^(2x)

回答No.2

info22_

no1です。

Ano1の補足の質問の回答

(1)f(x)=(x^3+2x+3)e^(2x)
積の微分公式{g(x)h(x)}'=h'(x)g(x)+h(x)g'(x)適用
h(x)=e^(2x),g(x)=(x^3+2x+3)とおきます。

f'(x)=(x^3+2x+3){e^(2x)}'+(x^3+2x+3)'{e^(2x)}
指数関数の微分公式{e^(g(x))}'=g'(x)e^(g(x))
g(x)=2xとおきます。

f'(x)=(x^3+2x+3){2e^(2x)}+(3x^2+2){e^(2x)}　←(★)
前の項は
g'(x)=(2x)'=2 の2が出て
{e^(2x)}'={e^(g(x))}'={g'(x)e^(g(x))}'=2e^(2x)
となります。おわかり？

共通な「e^(2x)」を括弧の外に括りだして
f'(x)={2(x^3+2x+3)+(3x^2+2)}(e^(2x))　←(☆)
前の項　(x^3+2x+3)(2e^(2x))から共通な(e^(2x))を括弧の外に括り出せば(x^3+2x+3)2が残り、2を前に出せば
「2(x^3+2x+3)」となります。
お分り？

括弧の中を整理して
f'(x)=(2x^3+3x^2+4x+8)e^(2x)

となります。

Ano1の冒頭に書いた基本的な微分公式を教科書や参考書で復習し、覚えておいて下さい。

お礼

ありがとうございます。おかげさまで理解することができました。こんにな詳しく教えていただいてinfo22_には、大変感謝しています。公式と、まずは、私の計算の基本もおさえたいと思いました。