Napier数の無理数であることの証明ができません。

質問

指数関数e^xをマクローリン展開した
e^x=1+x/1!+x^2/2!・・・+x^n/n!+e^(θx)*x^(n+1)/(n+1)!
と2<e<3であることを利用してeが無理数であることを証明するにはどうしたらよいでしょうか？

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

x=1、n→∞として、
e=1+1+1/2!+1/3!+…
と無限級数表示にします。
ここで、e=m/n（n≧2）と有理数に書けたとします。
両辺にn!を掛けると、
n!e=n!(1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!)+1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+…
n!(1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!)は展開すると、各項が整数になるので、
整数になる。
後ろの部分は、
1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)+…
＜1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3+…（公比1/(n+1)の等比級数）
＝{1/(n+1)}/{1-1/(n+1)}
＝1/n＜1
となって、整数ではない。
よって、n!eは整数＋非整数となって、整数ではない。
しかし、仮定からn!e＝n!m/n＝(n-1)!mは整数となって矛盾する。
よって、e=m/nと有理数には書けない。

回答No.3

Meowth

なんかみて

参考URL：

http://www.geocities.jp/ikemath/pdf_file/ho_pdf/086hozyu.pdf

回答No.2

zk43

一応補足として、2＜e＜3よりeは整数ではないということで、
e=m/nとおいたとき、n≧2という条件を付けることができます。
eが整数である可能性があるときは、n=1の可能性もあります。
この可能性が除かれています。