ネピア数eが２＜e＜３になることを定義を用いて証明するにはどうしたらよいでしょう？

質問

ネピア数e=lim[n→∞](1+1/n)^nを利用して2<e<3となることを示せ、という問題なんですがどうすればよいのでしょうか？

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

(1+1/n)^nは単調増加であり、n=1のとき2だから、2＜eである。
また、二項展開により、
(1+1/n)^n＝1+1+1/2(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+…1/n!(1-1/n)…(1-(1-n)/n)
＜1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
と上から押えられる。
さらに、各項の分母k!=1・2・3・4…kの3以降の部分を3にして、
(1+1/n)^n＜1+1+1/2+1/2・3+1/2・3^2+1/2・3^3+…+1/2・3^(n-2)
＝2+1/2(1+1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^(n-2))
＝2+1/2(1-1/3^(n-1))/(1-1/3)
＝2+3/4(1-1/3^(n-1))
＜2+3/4
＝2.75
となって3より小さい2.75で上から押えられる。
実際e=2.73…だからこの範囲には入っている。

お礼

解説も分かりやすくて感謝です。ありがとうございます。

回答No.3

Mr_Holland

二項展開して考えてみてはいかがでしょうか。

　S(n)=(1+1/n)^n と置きますと、これとS(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

　　S(n)= 1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
　　S(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}+・・・

　ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもS(n+1)の方が大きくなっていますので、
　　S(n+1)＞S(n)
というS(n)が単調増加数列であることが分かります。
　ところで、S(1)＝2 であることと合わせて考えますと、
　　2＝S(1)＜S(n)　（ｎ＞１）
ですので、
　　２＜lim[n→∞](1+1/n)^n
がいえます。

　次に、３より小さくなることについてですが、上のS(n)を二項展開した式から、次の関係がいえます。
　　S(n)= 1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
　　　　＜ 1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
　ここで、
　　1/n!＝1/1*2*3*・・・*n＜1/2^(n-1)
という関係がありますので、これを使えばS(n)は
　　S(n)＜ 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
　　　　＝ 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
　　　　＝ 1 +2{1-(1/2)^n}
　　　　＝ 3 -(1/2)^n
　　　　＜ 3
となり、３がS(n)の一つの上界であることが示されます。

お礼

こんなにも早く返信をしていただいて、ありがとうございます。二項展開を使うんですね。これで解決できました。

回答No.2

zk43

e=2.718…でしたね。間違い。