逆関数＝元の関数となるｘを求める問題

質問

f(x)=1/（1＋e^-1） の逆関数を求めよという問題を解きました。

教えてもらいながら、答えはどうやら
Y=log x / (1-x) で　0<x<1 　だというところまで、理解できました。

次に、

【逆関数と元の関数のｘが等しくなるようなｘの値を求めよ】という問題が出ました。

元の関数には、logがついていないということもあり、どこから手を付けたらよいのかわからずにいます。

これをどのように進めたらよいのか、教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

y=f(x)=1/（1+e^(-x)）
xとyを入れ替えて
　x=1/(1+e^(-y))
これをｙについて解くと
　1+e^(-y)=1/x
　e^(-y)=(1/x)-1=(1-x)/x
　e^y=x/(1-x)　(>0) ⇒ 0<x<1
　y=log(x/(1-x)) … 求める逆関数
　(0<x<1)

>逆関数と元の関数のｘが等しくなるようなｘの値を求めよ】
これは
　f(x)=1/(1+e^(-x))=x
あるいは
　g(x)=x+log((1/x)-1)=0
を満たすx (0<x<1)を求めよ。

高校数学でも習っている
ニュートン法でy=ｇ（ｘ）,初期値x0=0.5として
漸化式による数値計算で必要な桁数だけ求めれば良いでしょう。
　x=0.6590460…
と得られます。

詳細はニュートン法の参考URLをご覧下さい。
（先頭にhを補って下さい）
ttp://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~suga/C/2004/7/node9.html
（エクセル版例題）
ttp://ryuiki.agbi.tsukuba.ac.jp/~nishida/lecture/numerical/Newton.html

参考

参考URL：

http://akita-nct.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html

お礼

とても詳しいご説明を、ありがとうございます。

ニュートン法／漸化式という言葉を初めて聞きました。

一つ一つ、学んで行きます。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

＞f(x)=1/（1＋e^-1）

右辺から x が欠落しているので、まずそれを示しましょう。

お礼

早速のご回答を、ありがとうございました！

補足

ご指摘を、どうもありがとうございました。

誤入力でした。

正しくは、f(x)=1/（1＋e^-x）

でした。