行列

質問

零ベクトルでない、どんな実ベクトル
　 (x)
x=(y)
　 (z)
に対して
　 (　1 a 　 -a)
A=( a　 1 　 a)
　 ( -a　 a 　 a)
としたとき

　　　　 ( 1 a -a)(x)
(x y z)(　a 1 1) (y) 　 >0
　　　　 ( a a 1) (z)
となるaを求める問題で
真ん中の行列のAの固有値が全て正なことが必要な条件としてaを求めて解いています。
なぜそう解いているのか教えてくださいm(_ _)m

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

ベクトルの名前と、その x 成分の名前の
両方に「 x 」を使うとややこしいので、
v = 転置(x,y,z) と書きます。

A は、実対称行列なので、直交行列によって対角化可能です。
すなわち、逆P = 転置P を満たす行列 P で、
(逆P)AP が対角行列になるようなものがあります。
この対角行列の対角成分には、A の固有値が並びます。

w = (逆P)v と置くと、
(転置v)Av = (転置w)(逆P)APw と書けるので、
(転置v)Av は、w の各成分の二乗に A の固有値を掛けたもの
の和で表されることになります。それが常に正であるためには、
A の固有値が全て正であることが必要十分 だという訳です。

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

補足

つまり実対称行列なので
⇒標準形がある
標準形は適当な直交行列Pによる変数変換x＝Pyとすると
λ1・ya^2+λ2・yb^2+λ3・yc^2と表せるから
固有値λが全て正ならば良い。
という解釈であってますか？

回答No.2

alice_44

そ。
A No.1 では、そうなる理由を書いてみた。

お礼

ありがとうございました