行列の固有値と対角化

質問

次の行列Aの固有値と固有ベクトルを求め、正則行列Pをもとめよ。
A＝
　０　　１
－２　－３
で｜A-λE|＝
－λ　　　１
－２　－３－λ
より
－λ（－３－λ）＋２＝３λ＋(λ＾2)＋２
＝(λ＋１)(λ＋２)
よってλ＝－１、－２

λ＝－1に属する固有ベクトルは
ｙ＝－ｘより(ｘ、ｙ)＝α(１、－１)

λ＝－２1に属する固有ベクトルは
ｙ＝－２ｘより(ｘ、ｙ)＝β(１、－２)

これより正則行列Pは
　１　　１
－１　－２
になると思ったのですが、答えを見ると
　１　－１
－１　　２
とありました。どうしてでしょうか？

回答No.2

info22

ベクトルや固有ベクトルを列ベクトルとして扱っている場合は
固有ベクトルも列つまり縦に並べて正則行列をつくればいい。
その立場なら
> これより正則行列Pは
>　１　　１
>－１　－２
と書いてもいいですが、
今は、ベクトルを行ベクトルとして扱っているので、
正則行列を作る時は、固有ベクトルを行ベクトルとして積み上げて
並べて正則行列Pを作ればいいかと思います。
なので
（答）にあるように
一番目の固有ベクトルを1行目
二番目の固有ベクトルを2行目
に並べて
>　１　－１
>－１　　２
と正則行列Pを作ればいいでしょう。

質問者さんの答はベクトルや固有ベクトルを列ベクトルとして扱っている場合の正則行列になるかと思います。
教える教員や教科書により、ベクトルを列ベクトルとして扱っている場合も、行ベクトルとして扱う場合もありますので、それによって、正則行列の構成の仕方が変わりますので、柔軟に考えて、どちらでも頭を切り替えられるようにしておいた方がいいでしょう。質問者さんのようにベクトルは行ベクトルで扱っていて、正則行列だけ縦に固有ベクトルを並べるのはよくないでしょうね。

固有ベクトルの符号を変えて正則行列を作るのは、任意定数のαやβを1や-1におくだけの違いですから、正則行列Pとしては問題ありません。つまり、それが原因で答が間違いとされることはありません。

お礼

なるほど、勉強になります。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

あまり気にしなくていいです. 答えを作った人が「そっちがいい」と思っただけで, どっちでもいいです. 要は「固有ベクトルをならべればいい」だけなので, 極端にいえば
1 -100
-1 -200
でも問題ありません.
強いていえば「行列式が 1 になるでしょ」くらい.

お礼

分かりました。
ありがとうございます。。