行列の固有ベクトル

質問

(2 1 0)
(1 3 1)
(0 1 2)
この３×３行列の固有ベクトル(大きさ全て１）を求める問題ないのですが、わからないことがあります。以下に自分の回答を載せます。尚、転地行列は　ｔ(～)　の形で書くことにします。

ーーーー解答ーーーーーー

固有値λ＝１，２，４
λ＝１のとき、
(0　1　0)(x)　　　(x)
(1　0　1)(y)　＝　(y)
(0　1　0)(z)　　　(z)
1番目と3番目から x=y=z
2番目も考慮して x=y=z=0 (∵例えば、2番目の式にy=xを代入するとx+z=x　∴z=0　よってz=x=y=0)
よって、求める固有ベクトルはP1=t(0　0　0)

問題の部分はここからです。
λ=２のとき、
(0　1　0)(x)　　　(2x)
(1　0　1)(y)　＝　(2y)
(0　1　0)(z)　　　(2z)
1番目と3番目から y=2x=2z　－I
2番目から x+z=2y　 －II
これを満たすt(x y z)の組が無いように思います。
例えば、x=z=1のとき、Iよりy=2、
しかし、x=z=1をIIに代入すると、y=1で矛盾します。

私が考え違いをしているのだと思いますが、それが何かがわかりません。
どなたかご教授の程よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。
A#3の補足質問の回答
>上からaの値は、
> 1/√3、 1/√2、1/√6　ですよね？
それでOK。

> x=-z　という条件が出てきた場合、x,zのどちらがマイナスになってもいいのでしょうか？

これはOKですが、

> つまり、t(1,y,-1)=t(-1,y,1)　でしょうか？
はyの条件を無視しては駄目ですね。
y=0であれば
t(1,0,-1)、s(-1,0,1)
(ただしt=1/√2、s=1/√2)
のどちらの表現でもOKですね。「=」で結んではいけませんよ（同じ記号tを使っても同じtでは無いので。）。
（通常は一番前のx成分の符号をプラスにすることが多いですが…。）
なお、y成分も存在するなら、yの符号も反転させないといけませんね（ベクトル的には大きさが同じで逆向きになるだけ）。

お礼

ご解答ありがとうございます。

大変参考になりました。
また機会があればよろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.3

info22

> 私が考え違いをしているのだと思います
やられている計算は理解不能です。

固有値の定義通りにやらないといけませんね。
そうすれば、#2さんの式になります。
そこから、x,y,zを求めて、固有ベクトルが得られますね。
λ=1,2,4に対する固有ベクトルをv1,v2,v4とおくとaを任意定数として
v1=a*
( 1)
(-1)
( 1)

v2=a*
( 1)
( 0)
(-1)

v4=a*
( 1)
( 2)
( 1)
となります。

補足

最後まで解いてくださり、ありがとうございます。

＃２さんのご解答を参考に計算してみたことろ、たしかに同じベクトルになりました。

今回の問題は大きさを１にするので、上からaの値は、
1/√3、 1/√2、1/√6　ですよね？

また、ふと気になったのですが、例えば
x=-z　という条件が出てきた場合、x,zのどちらがマイナスになってもいいのでしょうか？
つまり、t(1,y,-1)=t(-1,y,1)　でしょうか？
左辺と右辺ではベクトルの方向が違うような気がするのですが・・・。

回答No.2

R_Earl

固有ベクトルをp = t(x, y, z)と置きます。
Ap = λpなので、λ = 1の時に
Ap = p　⇒ Ap = Ep ⇒ (A - E)p = oとなります(Eは単位行列で、oは零ベクトル)。
つまり
(2　1　0)(x)　　　(x)
(1　3　1)(y)　＝　(y)
(0　1　2)(z)　　　(z)
↓
(1　1　0)(x)　　　(0)
(1　2　1)(y)　＝　(0)
(0　1　1)(z)　　　(0)
となりませんか？

また、λ = 2の時とλ = 1の時の左辺の行列式が同じなのもおかしいと思うのですが。
λ = 2の時、Ap = 2p ⇒ Ap = 2Ep ⇒ (A - 2E)p = 0ですから、
(2　1　0)(x)　　　(2x)
(1　3　1)(y)　＝　(2y)
(0　1　2)(z)　　　(2z)
↓
(0　1　0)(x)　　　(0)
(1　1　1)(y)　＝　(0)
(0　1　0)(z)　　　(0)
ではないでしょうか？

お礼

詳しい解答ありがとうございます。

定義に従って計算してみたところ、確かにそうなりました。

>>また、λ = 2の時とλ = 1の時の左辺の行列式が同じなのもおかしいと思うのですが。
これは私が使っている問題集の解答にそのようなやり方が書いてありました。
線形代数の教科書ではなく、色々な分野の問題が載っているものです。
固有値を求めた後に、元の行列の対角成分を０にし、右辺に固有値を掛けるような計算方法です。
日本語が書いてなく式変形のみなので、本当にそうかは不明です。
ミスプリが多いと評判の問題集なので、もしかしたらミスだったのかもしれません。

数学はわからなくなったら定義に戻ったほうが良いですね。

ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>求める固有ベクトルはP1=t(0　0　0)
固有ベクトルは 0 ではないので、この時点でおかしいです。

なぜ

λ＝１のとき、
(0　1　0)(x)　　　(x)
(1　0　1)(y)　＝　(y)
(0　1　0)(z)　　　(z)

なのかも私にはわかりません。

お礼

ご解答ありがとうございます。

>>固有ベクトルは 0 ではないので、この時点でおかしいです。
確かにそうですね、そこでおかしいと気付くべきでした。