行列について質問です。

質問

行列　A＝｜２　１　１｜
　　　　 ｜１　２　１｜
　　　　 ｜１　１　２｜　

の固有ベクトルを求める過程なのですが
ひとまず固有値λ＝１(重解)、４とでました。

ここλ＝１のときの固有ベクトルですが
　　(A－E） |x| = |1 1 1| |x| = |0|
　　 　　　　 |y| |1 1 1| |y| |0|
　 　　　 　 |z| |1 1 1| |z| |0|となり
　　x+y+z=0を満たす(x,y,z)はすべて固有ベクトルになる
　　この後の計算ですがどうすればいいのでしょう？
　　重解の場合は2次元というイメージなので2つの互いに独立した
　　固有ベクトルができるというのはわかるのですが計算上はどのように
　　考えるべきでしょうか？

　　ご教授願います。

回答No.1

BO-BO-keshi · ベストアンサー

こんばんは！

そこまでくると後一歩です。x=s、y=tとおいてやると、z=-s-tと表すことが出来まして、
(x,y,z)=(s,t,-s-t)=s(1,0,-1)+t(0,1,-1)
とかけます。これにより、
条件x+y+z=0を満たすベクトルは(1,0,-1)と(0,1,-1)によって表せるベクトル全体という事が分かります。これらが固有ベクトルですね。

以下は補足です！固有多項式＝０を解いて固有値を出すわけですが、重解として出てきたからといって、それに対する固有ベクトルは必ず独立な２つを取ることが出来るとは限りません。具体的には
０１０
０００
００２
等があげられます。
ご存じでしたらすみません！

お礼

早速のご教授ありがとうございます。
x=s、y=tとおくと、z=-s-tと表すことができ、
(x,y,z)=(s,t,-s-t)=s(1,0,-1)+t(0,1,-1)ですね！
なるほど！大変参考になりました。
この度はご丁寧なご指導本当にありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

Ａは対象行列なので直行行列によって対角化できます。
固有値は、λ＝１(重解)、４となるそうですので、固有ベクトルを求めます。
λ＝１(重解)の固有空間は２次元であり、
x+y+z=0を満たす(x,y,z)はすべて固有ベクトルになるので、例えば、以下の２つのベクトル
(1/√2,-1/√2,0),(1/√3,1/√3,-2/√3)
はx+y+z=0を満たし互いに直交します。（ついでに、規格化もしておきました）
ここで、互いに直交するベクトルは一意に決定することはできません。一般的にはシュミットの直交化法を使います。

お礼

早速のご教授ありがとうございます。
シュミットの直交化法についてもこれを機会に復習しておこうと
思います。
この度は丁寧なご指導ありがとうございました。