固有値が重複している行列の対角化

質問

線形代数の質問です。
二次行列Aを、ある正則行列Pを用いて(P^-1)APと対角化するときのPを一つ求めよ、という問題があります。ここで、Aの固有値が二つあれば固有ベクトルも二つ求まりそれらを並べることでPがわかりますが、固有値が一つしかない場合はどうしたらいいのでしょうか。

教科書の例題を見ると、A=［a1,a2］(a1=［3,-1］、a2=［0,2］)のとき、固有値はλ=3で、［λI-A］x=0よりx+y=0となり、固有ベクトルは［1,-1］となります。このあとどのようにして正則二次行列Pを求めればいいのでしょうか。

どなたか御回答よろしくお願いします。

回答No.2

tmpname

行列は常に対角化できるとは限りません。

一般に、固有値λの代数的多重度（つまり、Aの固有多項式における根λの多重度）に対し、λに対する固有空間の次元（のことを固有値λの幾何的多重度といったりする）が固有値λの代数的多重度に等しければ、対角化できる。そうでない場合、対角化出来ません。

A = { {3, 1}, {-1, 1} } の場合、固有値は2のみでそれに対する固有空間は {1,-1}^t が張る部分空間のみで次元は1、従って対角化できません。こういう対角化できない場合は「Jordan標準形」というものを考えることになります。

その教科書の後ろの章とかに書いていませんか？もしくはJordan標準形については別の学期の授業で扱うとか。

回答No.1

tmppassenger

ます、そのAは固有値は重複してないよ？

補足

すみません、Aの値を書き間違えてしまいました…。
A=［a1,a2］でa1=［3,-1］、a2=［1,1］のときλ=2で重複、で再考して頂けますでしょうか？