微分方程式の問題なのですが。。。

質問

微分方程式ＸＹＹ´＝Ｘ＾２＋Ｙ＾２の問題が解けません。（Ｘ＾２はＸの二乗のことです)
Ｙ＝ＸＺとおいて途中まで解いたらＸＺ´＝１／Ｚとなりましたがその先がよくわかりません。どうしたら解けるでしょうか？また、解き方はどうでしょうか？わかる方よろしくお願いします。

回答No.7

stomachman · ベストアンサー

ご質問の方針のままで進めると思います。
xyy'=x^2+y^2
を解くのに
y=xzとしてy'=z+xz'を使って、
x(xz)(z+xz')=x^2+(xz)^2
より
xz'=1/z
とやったんですね。お見事。

そこまでできていれば、あとは簡単。
dz/dx=(1/x)(1/z)
という風にxだけの因子とzだけの因子との積の形になっている。つまりいわゆる「変数分離」（形式的には zdz=(1/x)dx ）ができて
∫zdz=∫(1/x)dx
が分かります。両辺を計算すればzが決まる。

こうして解「らしきもの」を得たところで、xyy'を計算して、確かに元の方程式を満たすかどうか検算してみるのが良いです。

お礼

教えて頂いた通りに計算したら解けました。ありがとうございました。

回答No.6

keyguy

(Y^2)'-(2/X)・(Y^2)=2・X
すなわち
(Y^2・exp(-2・log(x)))'=2・X・exp(-2・log(x))
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2・X・(1/X^2)
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2/X
すなわち
Y^2/X^2=C+log（X^2)
すなわち
Y/X=±√(C+log（X^2))

のほうがいいのかな？

お礼

自分とは違う解き方でしたが、この方法でも解くことができました。考えていただきありがとうございました。

回答No.5

keyguy

(Y^2)'-(2/X)・(Y^2)=2・X
すなわち
(Y^2・exp(-2・log(x)))'=2・X・exp(-2・log(x))
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2・X・(1/X^2)
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2/X
すなわち
Y^2/X^2=log（C・X^2)
すなわち
Y/X=±√(log（C・X^2))

いつのまにか/が・に化けていました
変換の技です

回答No.4

keyguy

(Y^2)'-(2/X)・(Y^2)=2・X
すなわち
(Y^2・exp(-2・log(x)))'=2・X・exp(-2・log(x))
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2・X・(1/X^2)
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2/X
すなわち
Y^2・X^2=log（C・X^2)
すなわち
Y・X=±√(log（C・X^2))

√は本当は前に常に±がついているからこの修正は不必要だが念のため

回答No.3

KENZOU

Y^2＝Zと置くとYY'=（1/2）Z'となりますね。これを与式にいれて整理すると
　Z'-(2/X)Z=2X^2　　　(1)
これは次の解（※）を持つ線形1階微分方程式となります。
　Z=exp(ー∫(-2/X)dX{∫exp(-2/X)dx・2X^2＋C}　　(2)
右辺を個別に計算すると
　∫(-2/X)dX=-2logX　　(3)
　∫exp(-2/X)dX・X^2=(1/3)X^3exp(-2logX)
　　　　　　　　　　+(2/3)∫X^2・exp(-2logX)dX　　(4)
(4)を整理すると
　∫exp(-2/X)dX・X^2=X^3exp(-2logX)　　(5)
(3)と(5)を(2)にいれると
　Z=exp(2logX){2X^3exp(-2logX)＋C}
　　=2X^3＋Cexp(2logX)　　(6)
ここでZを元に戻すと
　Y^2=2X^3＋Cexp(2logX)
従って
　Y=±sqrt{2X^3＋Cexp(2logX)}
となりました。計算間違いがあるかもしれませんので(※)の公式に従ってご自分で計算をフォローして見てくださいね。
(※)y'＋f(x)y=g(x)の一般解は
　y=exp(-∫f(x)dx)){∫exp(∫f(x)dx)g(x)dx＋C）

回答No.2

keyguy

(Y^2)'-(2/X)・(Y^2)=2・X
すなわち
(Y^2・exp(-2・log(x)))'=2・X・exp(-2・log(x))
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2・X・(1/X^2)
すなわち
(Y^2・(1/X^2))'=2/X
すなわち
Y^2・X^2=log（C・X^2)
すなわち
Y・X=√(log（C・X^2))

回答No.1

keyguy

(Y^2)'-(2/X)・(Y^2)=2・X
すなわち
(Y^2・exp(-2・log(x)))'=2・X・exp(-2・log(x))

補足

この内容はわかりましたが、その後どのようにしたらよいでしょうか。また、他の解き方を知っていたら教えてください。