微分方程式の問題です。

質問

嘗ての某大学の入試で出た問題です。
定義域、値域ともに、0から１で、(0,0) (1,1)を含み、その区間で微分可能である関数で、
かつ、逆関数が同じものは？という問題がありました。

dx/dy=dy/dx として、
これを解いて、
(y-c)の２乗 = (x-c)の２乗となり、
条件から、y=xとしました。

しかし、定義域や値域に条件がなければ、
(x-1/2)の２乗 + (y-1/2)の２乗 = 1/2 や、(x-1/2)(y-1/2) = 1/4 も、
条件を満たすので、微分方程式を解く過程で、導出されるはず。
すなわち、解法に穴があるはず。
どこに穴があるかご教示下さい。

回答No.6

WiredLogic

#2&#4です。

#5さんへの補足で、ようやく、何を知りたいかが解りました。

話を解りやすくするために、問題の設定を
「定義域、値域ともに、0から１で、(0,0) (1,1)を含み、その区間で微分可能である関数で、
かつ、逆関数が同じものは？」
の「(0,0),(1,1)」から「(0,1),(1,0)」に変更してみます。

これなら、x+y=1だけでなく、定義域・値域を、x≧0かつy≧0とした、
x^2 + y^2 = 1, √x + √y = 1, (x+1/2)(y+1/2)=3/4 など、
(0,1),(1,0)を通り、連続、かつ、微分可能で、y=xに対称な曲線は、
何であっても、答になるのは、明らかです。

ところが、dy/dx = dx/dy を、解くのでは、x+y=1しか出てこない、これは何故か？

こう質問していただければ、必要な回答が返ってくるの、きっと早かったでしょう^^

実は、解くべき微分方程式を、dy/dx = dx/dy とできるのは、最初の条件を前提としたからで、それを前提としない、つまり、冒頭で変更したような条件の場合には、実は、この微分方程式は成立しない、というのがポイントです。

例えば、x^2+y^2=1なら、2x + 2y(dy/dx)=0 ⇔ dy/dx = -x/y、dx/dy = -y/x、よって、(dy/dx)*(dx/dy) = 1 と、
逆関数ならば、自明な話にしかならない、これが、条件を変えた場合、y=xに対称の条件さえ満たせば、何でもいい、という、ものすごく大雑把な話になってしまう理由です。

つまり、元々の条件を前提としない場合には、そもそも、普通に、微分方程式を立てて、それを解くというふうな問題にはならない訳で、私は(おそらく、#1さんや#3さんも)、何故微分方程式にしたがるんだろう、と、逆に悩んでいました。

なので、dy/dx = dx/dy を自分から持ち出しておいて、悩むってのは、きっと、枝葉の部分だよなぁ、と、思ってしまった訳ですが、意表を突かれた感じです。もっと、修行しなくては^^

お礼

度々の回答ありがとうございます。
例えば、先の双曲線をxで微分しますと、
(y-1/2) + (x-1/2)dy/dx = 0 , dy/dx = -(y-1/2)/(x-1/2)
dy/dx = dx/dy　とはなりません。

私は、偶然にその微分方程式を立てて、正解に行き当たったにすぎないのです。
実際、y=x以外に座標を持つと、多価関数を除けば、関数にならず、
これが正解だとは確信したのですが、数学の解法としては、厳密性に欠けるかと思いました。
微分方程式以外の解法があるのかも知れません。

回答No.5

ferien

>私の疑問がうまく伝わっていないようです。
>逆関数が同じで(0,0)(1,1)を通る微分可能な曲線をまず求め、
>条件に合うものを選ぶようにした場合、
>微分方程式の解のなかに、円や、双曲線が含まれるはずなのに、
>最初から、直線のみが導出できてしまったので、
>もっと一般化した解法があるはずだと思ったのであって、
>これらが、条件にあっていないことは解っております。

よく考えた上での質問だったのであれば申し訳ありませんでした。

もし、定義域や値域に条件を付けなかったとしても、微分可能で、逆関数をもつのはｙ＝ｘ（ｙ＝－ｘ）だけだと思います。
(x-1/2)の２乗 + (y-1/2)の２乗 = 1/2は、－1/ルート２≦x≦１／ルート２を除いた範囲では定義されていないし、(x-1/2)(y-1/2) = 1/4もｘ＝１／２では定義されていません。
もしもこれらが解になるときは、問題の方も解になるような定義域や値域をを条件にしているのではないかと思いますが。。

お礼

回答ありがとうございました。
結局、あの回答は丸をもらえたのかどうか不明です。
高校の先生に質問しても、明快な回答は得られず、答えはあっているとは言われたものの、
導出過程に問題があるだろうと言われました。

補足

補足を記載しているうちに、自分の疑問が整理されてきました。
突き詰めれば、私の疑問は、
y=f(x) x=f(y) 0=f(0) 1=f(1) で(ほとんど)微分可能な曲線という条件から、
(x-1/2)の２乗 + (y-1/2)の２乗 = 1/2、(x-1/2)(y-1/2) = 1/4　をどうすれば、
導出できるかという事です。

回答No.4

WiredLogic

#2です。

＞私の疑問がうまく伝わっていないようです。
＞逆関数が同じで(0,0)(1,1)を通る微分可能な曲線をまず求め、
＞条件に合うものを選ぶようにした場合、

私の説明がうまく伝わっていないようです^^

質問者さんの挙げられた例は、条件以前に
「逆関数が同じ」でもなく、
円の方は「関数」でもなく、
双曲線の方は「微分可能」でもありませんよ、
と、説明したつもりだったのですが

補足

WiredLogic様の説明は理解できております。
私の認識だと、y=xに対し対称だと、逆関数も同じになるということなんです。
円は関数ではありませんが、双曲線は、一部を除き微分可能かと。
まさに、「条件以前」に円や双曲線が出てきて、その後の条件で、決定するという過程を通るのではないかと考えております。

質問を言い換えますと、
y=f(x) x=f(y) 0=f(0) 1=f(1)で、（ほとんど）微分可能な曲線ということで、
微分方程式を作るなどして、これを解けば、先の円や双曲線、
（さらには、楕円(x-1/√2)の２乗/(1/√2)の２乗 + yの２乗/bの２乗 = 1 を+45°回転させたものなど）
は、条件に適しているため、導けなければいけないのではないかと考えます。
その後に、関数だからだとか、定義域の範囲で微分可能だとか、定義域、値域からy = xとなるのではないかと。

ところが、私の解き方ですと、皆さんと同様に最初から円も双曲線も出て来ません。、
意図はしていないのに、これらを除外できてしまっているのが納得できていないのです。

さらに、自分の解き方で、dy/dx = ±1 としないで、結局遠回りだったんですが、
∬dydy = ∬dxdx として、∫(y+c1)dy = ∫(x+c2)dx から、(0,0)(1,1)を代入していけば、
円なども含む式が出るかと思い計算したのですが、直線しか出ませんでした。

わかっていただけたでしょうか。

回答No.3

ferien

>定義域、値域ともに、0から１で、(0,0) (1,1)を含み、その区間で微分可能である関数で、
>かつ、逆関数が同じものは？という問題がありました。

>(x-1/2)の２乗 + (y-1/2)の２乗 = 1/2 や、(x-1/2)(y-1/2) = 1/4 も、
>条件を満たすので

0から１で定義され、(0,0) (1,1)を含み、は、２つとも満たしていますが、
２つとも０≦ｘ≦１で、連続ではないので、微分可能ではありません。
グラフを描くと分かりました。

補足

私の疑問がうまく伝わっていないようです。
逆関数が同じで(0,0)(1,1)を通る微分可能な曲線をまず求め、
条件に合うものを選ぶようにした場合、
微分方程式の解のなかに、円や、双曲線が含まれるはずなのに、
最初から、直線のみが導出できてしまったので、
もっと一般化した解法があるはずだと思ったのであって、
これらが、条件にあっていないことは解っております。

回答No.2

WiredLogic

aのb乗は、a^b で表すことにします。

＞しかし、定義域や値域に条件がなければ、
＞(x-1/2)の２乗 + (y-1/2)の２乗 = 1/2 や、(x-1/2)(y-1/2) = 1/4 も、
＞条件を満たすので、微分方程式を解く過程で、導出されるはず。

が、勘違いだと思われます。

元の関数・f(x) が、0≦x≦1で、
微分可能で(つまり連続でも)あり、
y=f(x)、かつ、x=f(y)、ですから、

一番簡単な反例を上げると、
例えば、x=1/2で、x=f(x)でないといけませんが、
どちらも(1/2,1/2)を通りません。この点は、
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 = 1/2 なら、円の中心、
(x-1/2)(y-1/2) = 1/2 なら、漸近線の交点になっています。

それぞれの関数の根っ子での問題点は、

(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 = 1/2 は、
多価関数、つまり、例えば、
x=0のとき、y=0,または,1、で、
この問題でいう関数の定義にそぐわない

(x-1/2)(y-1/2) = 1/2 は、x=1/2で不連続、
つまり、微分可能でない、

ということになります。

また、回答で挙げた条件の３つめから、
x=f(x)なので、微分方程式使わなくても、
答は出ると思いますが、使ったとしても、

＞dx/dy=dy/dx として、
＞これを解いて、
＞(y-c)の２乗 = (x-c)の２乗となり、

は、ちょっと、過程が不明で、

最初の式から、(dy/dx)^2 = 1、dy/dx = ±1、
で、条件から、というので、よさそうに思えます。

補足

私の疑問がうまく伝わっていないようです。
逆関数が同じで(0,0)(1,1)を通る微分可能な曲線をまず求め、
条件に合うものを選ぶようにした場合、
微分方程式の解のなかに、円や、双曲線が含まれるはずなのに、
最初から、直線のみが導出できてしまったので、
もっと一般化した解法があるはずだと思ったのであって、
これらが、条件にあっていないことは解っております。

回答No.1

hrsmmhr

(x-1/2)(y-1/2) = 1/4 はどちらから出ましたか？
dy/dx=-1/4*(x-1/2)^(-2),dx/dy=-1/4*(y-1/2)^(-2)でdy/dx*dx/dy=1ですが逆関数
（これもその後とつながらないですけど、逆関数の導関数とみなして）が等しいわけではないです

逆関数の導関数とその関数の導関数が等しい（dy/dx=dx/dy）なら
y+C=∫dy/dxdx=∫dx/dydx=∫dx/dy*dx/dydy
両辺yで微分して
1=(dx/dy)^2
dx/dy=±1
となると思います

お礼

回答ありがとうございます。
それで、dx/dy=±1　を条件から、dx/dy=１で y=xにしたんですがね。