減少数列と極限

質問

ある減少数列(an≦an-1となる数列かつ詳細なanの式は出せない)がありかつすべてのnについてan≧bとなる実数がある時その数列のn→∞の極限は収束すると言えますか？例外があるかわからなくなりました

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

{a_n}が実数列（実数からなる数列）で、収束するかを実数の範囲で考えているのなら、言えます。単調減少の実数列で、下に有界（つまりある値bが存在して、すべての項がb以上である）ようなものは、必ず収束します。

で、それはなぜかというと、あなたが何年生かによりますが：
＊先ず高校の範囲では、「収束の厳密な定義」とか「実数が持っている性質」とかを扱わないので、証明はできません。
＊大学の理系の数学だと、多分習います。「実数とはなにか？」を改めて習うときに必ず出てきます。例えば https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7#%E6%9C%89%E7%95%8C%E5%8D%98%E8%AA%BF%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%AE%9A%E7%90%86 を参照してください。

お礼

ありがとうございます。実数の連続性によって例外がうまれなくなってるのですね。あと複素数の数列はそもそもiのせいで大小関係がないですから減少もクソもないですね