f(x)が(x-a)(x-b)で割り切れる⇔...

質問

f(x)が(x-a)(x-b)で割り切れる⇔f(a)=f(b)=0

という定理がありますよね
これの証明を自分でしようと思ったのですがうまくできませんでした
公式集を見ても、教科書を見ても証明が乗っていなかったので教えてください

またこの定理にはa≠bという条件がついていたような気がするのですが
（記憶があいまいです）
a=bの時には成りたたないのでしょうか？

回答No.1

hk208 · ベストアンサー

→の証明は
　f(x)が(x-a)(x-b)で割り切れるということは、商をQ(x)として
　f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)と書けることより。

←の証明は因数定理よりです。

a=bの時には←は成り立ちません。
反例はf(x)=(x-5)(x-7)、a=b=5の時です。
f(5)=0ですが、(x-5)^2では割り切れません。

回答No.3

noname#175206

f(x)が多項式であれば、剰余定理の特別な場合である因数定理を繰り返し適用すれば、証明できますね。

　それは、f(x)が(x－a)(x－b)で割り切れるならば、f(x)＝(x－a)g(x)なる多項式の関数g(x)、さらにg(x)＝(x－b)h(x)なる多項式の関数h(x)を用いて、f(x)＝(x－a)g(x)＝(x－a)(x－b)h(x)と書けることによります。

　しかし、もしa＝bであると、f(a)＝0だけになりますから、条件が一つ減ります。このため、f(x)＝(x－a)g(x)までは保証できますが、g(x)＝(x－a)h(x)は保証されません（g(x)＝(x－a)h(x)と書ける場合に限られる）。そのため、a≠bの条件が必要になります。

　a, b二つに限らず、（相異なる）a, b, c,……となっても同様です。

　さらに、もしh(x)が多項式の関数でないとすると、以上のことは必ずしも成り立ちません。たとえば、x→aまたはx→bのとき、h(x)→∞であると、h(x)の発散の状況に応じて考えていく必要が生じます。

回答No.2

info22_

因数定理、証明で検索してみてください。

例えば
http://www.cfv21.com/math/factor.htm
証明が載ってます。

>またこの定理にはa≠bという条件がついていたような気がするのですが
そう、ついています。

>a=bの時には成りたたないのでしょうか？
「→」方向は成り立ちますが
「←」方向は成り立ちません。
なのでf(a)=0だけでは「⇔」は成り立ちません。

f(x)が(x-a)^2で割り切れる⇔f(a)=0かつf'(a)=0
なら成り立ちます。