f(ab)=f(a)+f(b)を仮定する証明

質問

逆関数が存在する関数f(x)がf(ab)=f(a)+f(b)をみたすとき

逆関数f^(-1)(a+b)=f^(-1)(a)f^(-1)(b)を証明したいのですが

どう証明すればいいかご存じの方よろしくお願い致します。

回答No.1

muturajcp

f(ab)=f(a)+f(b)をみたすとき

f(xy)=f(x)+f(y)をみたすのだから

f(x)=a
f(y)=b
とすると
f(xy)=f(x)+f(y)=a+b
f(xy)=a+b
だから
逆関数がf^(-1)が存在して
x=f^(-1)(a)
y=f^(-1)(b)
xy=f^(-1)(a+b)
だから
f^(-1)(a+b)=xy=f^(-1)(a)f^(-1)(b)
∴
f^(-1)(a+b)=f^(-1)(a)f^(-1)(b)

お礼

ありがとうございました！