写像の基本定理：B1⊂B2⇒f~(B1)⊂ｆ~(B2）について。

質問

お世話になります。
よろしくお願いします。

写像の基本定理：『B1⊂B2⇒f~(B1)⊂ｆ~(B2）』についてなのですが、
（fはAからBへの写像、ｆ~をその逆像、B1、B2はBの部分集合とします。）
『B1⊂B2⇒f~(B1)⊂ｆ~(B2）』の逆、すなわち
『B1⊂B2←f~(B1)⊂ｆ~(B2）』がなぜ成り立たないのか分かりません。

自分では“逆”も成り立つような気がします。
独学で写像を勉強し始めたばかりで何か根本的な思い違いが
あると思うのですが・・・。

証明、反例など分かりましたら教えてください。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

A = {1, 2}
B = {1, 2}

f : A -> B を f(1) = 2, f(2) = 2 とする

B1 = {1}
B2 = {2}

とすると

f~(B1) = φ ⊆ f~(B2) = {1, 2}

要するに、証明しようとしてうまく行かない原因を考えて下さい。

お礼

oko_u_さん、いつもお世話になっております。
大変素早い御回答をどうもありがとうございます。

なるほど、確かにｆ~(B1)=φの時は確かに成り立ちませんね。
φのことは全く頭にありませんでした。

この定理と対比される定理『A1⊂A2⇒f(A1)⊂ｆ(A2）』においては
「←」の反例は
A1＝{１}、A2＝{２，３}
f(1)＝２、f(２)＝２、f(３)＝３のように無限に存在するみたいですが、
『B1⊂B2←f~(B1)⊂ｆ~(B2）』の反例は
よく考えたのですが、「f~(B1) = φ」の時のみというのでよいのですよね？

一般的に考えよう、一般的に考えようというのが頭にあり、
φに関しての検証というのが頭になかったです。
どうもありがとうございました。

補足

koko_u_さんの名前の最初の「ｋ」が手違いから切れてしまいました。
大変失礼しました。

回答No.3

koko_u_

>今までベン図に矢印を引っ張っただけのいい加減な直観的理解しかしていなかった
いや、その図が大事です。
計算式で書いたのは、このサイトではベン図が書けないからに過ぎません。

今得た知識を表現できるような図を新たに書いて下さい。

お礼

まだ見てくださっていたとは・・・。
もしかしたらと思いまして、締め切らずに良かったです。
いろいろとアドバイスどうもありがとうございます。

今、ベン図による理解と式による証明の両方からの理解ができるように頑張っております。

f~(f(P))⊃P
f(A-P)⊃f(A)-f(P)
f(P1∩P2)⊂f(P1)∩f(P2)

といった類似の基本公式１０個ほどをベン図と式の両方から挑戦中で、もう少し時間が掛かりそうです。

理解し終わった後、自然にこれらの公式を使いこなせるようになるにはさらにもっと時間が・・・。

集合・位相の最初の数１０ページで躓きまくっていまして、
大学数学の難解さ、恐ろしさを実感しています・・・。

今後もゆっくりでも着実に理解することを心がけていきたいと思っております。

また今後もお世話になることがあるかと思いますが、その時はよろしくお願いします。
この度はどうもありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

今、f~(B1) ⊆ f~(B2) => B1 ⊆ B2 を証明したいと考えよう。

f~(B1) ⊆ f~(B2) が前提で、b ∈ B1 を考える。
ある a ∈ A があり、f(a) = b であれば、前提から a ∈ f~({b}) ⊆ f~(B1) ⊆ f~(B2)
よってb = f(a) ∈ B2

つまり B1∩f(A) ⊆ B2

しかし、f(A) に含まれない B1 の元については何も言明することができません。
逆に f が全射であれば命題が成り立つ。

f~(・) の情報は当然 f の像についての知識しか与えないので、これは納得できる結論だ。

お礼

なかなか理解できずに苦戦してしまい、お礼が遅れてしまってすみません。
今までベン図に矢印を引っ張っただけのいい加減な直観的理解しかしていなかったので反例がなかなか見つけられなかったことが分かりました。

どうやら
『f~({b}) ⊆ f~(B1) ⊆ f~(B2)　ならば　b∈B2』
が必ずしも成り立つわけではない、ということが式の上で理解できてなかったようです。

『f~(B1) ⊆ f~(B2) ＝B1∩f(A) ⊆ B2』
に付いても参考書に載っていない事柄なのでちゃんとノートに書いておきます。

お蔭様で大分写像の理解が深まってきたような感じです。
この度もどうもありがとうございました。