y=ｆ(x)についてx=aで連

質問

y=ｆ(x)についてx=aで連続の定義は
関数f(x)において、limf(x)(x→a）が存在し、かつ、limf(x)(ｘ→a)=f(a)である。
と教科書にありますが、
ただ単に、limf(x)(ｘ→a)=f(a)であること。
としてはまずいでしょうか。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

「lim f が存在し」には例外があります。
fの定義域が孤立点(x=a)の場合も連続が、定義できるとすると
wikipedia に載っている定義からわかりますように
×=a で fは連続になります。しかし 1im f は
存在しません。

教科書にのっているのは、大きさのある区間に限った
定義だと思います。

回答No.2

NemurinekoNya

「limf(x)(ｘ→a)=f(a)であること」は、
「関数f(x)において、limf(x)(x→a）が存在し、かつ、limf(x)(ｘ→a)=f(a)である」の簡略の表現なので、
問題がないといえば問題がないです。

ですが、これを簡略表現として認めないと、
　連続とは、「limf(x)(ｘ→a)=f(a)であること」
はちょっとマズいですかね。

lim f(x)とf(a)が存在するのならば、lim f(x)とf(a)は等号・「＝」で比較できるのですが、
存在しないと比較できないんですよ。
等号、＝は、二項関係なので、右辺と左辺に定義域を持って、この場合、右辺と左辺は暗黙に実数とされています。
ですから、
「（lim f(x)やf(a))が存在しない」というのは実数でないので、
うるさいことをいうと、
等号で比較できない。

ですから、
「limf(x)(x→a）が存在」
が必要ということになります。
───余計に見えるけれど、これにはそれなりの理由があった───
そして、最初の定義がより正確な定義であるとなります。

回答No.1

shuu_01

まずくないと思います

Wikipedia
連続 (数学)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

関数の連続性
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う。

lim[ｘ→x0)] f(x) ＝ f(x0)

って説明されてます