次の微分方程式の基本解を級数による解放で求めよ。
(d^2 y)/(dx^2) - xy = 0
解
y1 = 1 + Σ[m=1,∞] 1/[ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * x^3m
y2 = x + Σ[m=1,∞] 1/[ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * x^(3m+1)
解き方
y = Σ[i=0,∞] a[i] * x^i と級数展開して、
dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1)
(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2)
を微分方程式に代入し、xの次数ごとに係数の条件を導く。
与えられた微分方程式
(d^2 y)/(dx^2) - xy = 0
は
Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - x * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i = 0
Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i+1) = 0
となる。
まず、定数項 = 0 から
a[2] = 0
更に、xの次数ごとに係数が0になることから、次の関係式を得る。
Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i+1) = 0
Σ[i=1,∞] (i+1)i * a[i+1] * x^(i-1) - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
Σ[i=0,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
(0+2)(0+1) * a[0+2] * x^0 + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
(2)(1) * a[2] * (1) + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
2a[2] + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
ここで、a[2] = 0 より
2(0) + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
Σ[i=1,∞] { (i+2)(i+1) * a[i+2] - a[i-1] } x^i = 0
Σ[i=0,∞] { (i+3)(i+2) * a[i+3] - a[i] } x^(i+1) = 0
x * Σ[i=0,∞] { (i+3)(i+2) * a[i+3] - a[i] } x^i = 0
両辺をxで割って
Σ[i=0,∞] { (i+3)(i+2) * a[i+3] - a[i] } x^i = 0
(n+3)(n+2) * a[n+3] - a[n] = 0 (n = 0,1,2,...)
以上のことより、nが3の倍数の場合、n=3m (m=1,2,3,...)として
a[3m] = 1 / [ 3m(3m-1) * 3(m-1){3(m-1)-1} * ... * 3(2) ] * a[0]
= 1 / [ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * a[0] (m = 1,2,3,...)
から、a[0]を初項として1つの基本解
y1 = a[0] + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * a[0] * x^(3m) (m = 1,2,3,...)
を、また、nが(3の倍数+1)の場合、n=3m+1 (m=1,2,3,...)として
a[3m+1] = 1 / [ (3m+1)3m * {3(m-1)+1}3(m-1) * ... * 4(3) ] * a[1]
= 1 / [ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * a[1] (m = 1,2,3,...)
から、a[1]を初項としてもう1つの基本解
y2 = a[1] + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * a[1] * x^(3m+1) (m = 1,2,3,...)
を得る。a[0] = 1, a[1] = 1 とすると、
y1 = 1 + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * x^(3m) (m = 1,2,3,...)
y2 = 1 + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * x^(3m+1) (m = 1,2,3,...)
となる。
・・・と本に書いてあります（少し加筆してます）。
ここまで計算は出来ているんですけど、計算の意味をよく理解できていません。
特に、n = 3m の場合と n = 3m+1 の場合はありますけど、n = 3m+2 の場合の基本解は必要ないのですか？ それって、
y = 1 + x + 3x^3 + 12x^4 + 6x^6 + 42x^7 + ...
というように「x^2, x^5, x^8, ... の係数は0になる」ということですか？
それとも、別にもう1つ基本解を増やそうと思ったら、n = 3m+2 の場合も追加できるものなんですか？
どうか教えてください。お願いします。
お礼
ああ、なるほど。n = 3m+2 の場合は0なので「なし」ですね。 自分で書いてても結構気付かないものなのです。(^^ゞ あと、自己訂正です： y = 1 + x + 3x^3 + 12x^4 + 6x^6 + 42x^7 + ... ↓ y = 1 + x + 6x^3 + 12x^4 + 30x^6 + 42x^7 + ... のはずですね、きっと。 素早いご指摘、ありがとうございました！