微分方程式の級数解の求め方

質問

微分方程式の級数解の求め方について教えてください。

y' = a^2・y, y(0) = 1 の解が y = f(x) = Σ[n=0→∞]c(n)・x^n であるとします。
この場合に、係数 c10 値と、f(1) の値を求めたいと思います。

以下のように辿ってみましたが、途中でわからなくなりました。

解の式を微分して、
y' = c1 + 2c2・x + 3c3・x^2 + ...

元の方程式を展開すると、
y' = a^2( c0 + c1・x + c2・x^2 + ... )

両式と y(0) = 1 より、
c1 = c0・a^2 = a^2
2c2・x = c1・x → c2 = c1・x / 2・x = c1 / 2 → a^2 / 2!
3c3・x^2 = c2・x^2 → c3 = c2・x^2 / 3・x^2 = c2 / 3 → a^2 / 3!

ゆえに
c(n) = a^2 / n!

このあと c10 を算出するために上式の a の値は？などとわからなくなりました。
ここまでに誤りがないか、このあとをどうすればよいか、教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

y'=a^2y
y(0)=1
y=f(x)=Σ_{n=0～∞}c(n)・x^n
解の式を微分して,
y'=Σ_{n=1～∞}nc(n)・x^{n-1}
y'=Σ_{n=0～∞}(n+1)c(n+1)・x^n=c(1)+2c(2)x+3c(3)x^2+…
元の方程式を展開すると,
y'=Σ_{n=0～∞}a^2・c(n)x^n
y'=a^2(c(0)+c(1)x+c(2)x^2+…)
y'=a^2・c(0)+a^2・c(1)x+a^2・c(2)x^2+…

両辺とy(0)=1より,
c(0)=1
(n+1)c(n+1)=a^2・c(n)
だから
「2c2・x=c1・x」は誤りで「2c2・x=a^2・c1・x」が正しい
「3c3・x^2=c2・x^2」は誤りで「3c3・x^2=a^2・c2・x^2」が正しい

c(n+1)=a^2・c(n)/(n+1)
だから
ある自然数nに対して
c(n)=a^{2n}/n!
を仮定すると
c(n+1)=a^2{a^{2n}/n!}/(n+1)=a^{2(n+1)}/(n+1)!
だから
全ての自然数に対して
c(n)=a^{2n}/n!
だから
「c(n)=a^2/n!」は誤りで「c(n)=a^{2n}/n!」が正しい

c(10)=a^{20}/10!
f(1)=Σ_{n=0～∞}a^{2n}/n!
f(1)=Σ_{n=0～∞}{(a^2)^n}/n!
f(1)=e^{a^2}
ゆえに
c(10)=a^{20}/10!
f(1)=e^{a^2}

補足

教えていただき、ありがとうございます。
計算ミスは、、恥ずい。。
特に f(1) の方がよくわかっていなかったようです。助かりました。

後出しで申し訳ありませんが、よろしければお教えください。
上の方程式と解から、c(10) = 0 と f(1) = e^(1/3) を導くことは可能でしょうか。
出来るとして経過が経過が全くわからず。他に条件などが必要なのかも知れないのですが。

回答No.2

jcpmutura

c(10)=a^{20}/10!
f(1)=e^{a^2}

c(10)=0ならばa=0となってf(1)=1≠e^{1/3}
f(1)=e^{1/3}ならばa^2=1/3となってc(10)=1/(3^{10}10!)≠0
∴
c(10)=0とf(1)=e^{1/3}を同時に満たすaは存在しません

お礼

先に教えていただいた箇所までは納得できるようになりました。
こちらの方は自分も考えていたのですが、同じ結論になるようです。
(まだ教えていただいた式をなぞる程度ですが)
出題者にも意図を確認してみます。

ありがとうございました。