体

質問

加法と乗法の両方で群になっている体の例を教えてください

加法で非可換群、乗法で可換群になっている体の例を教えてください

回答No.3

sunflower-san · ベストアンサー

定義域を制限したものを同じ言葉で呼ぶことは意味の混乱もないですし、普通のことだと思うんですが。。
まあ、言い方が気に入らないなら何と呼んでも結構ですが、
私はK-{0}が乗法を制限したものについて可換群をなすと言ったまでです。
一方でKは乗法について群をなさない。だからあなたが質問されているような対象はそもそも体ではありえません。
ただし、あなたが「加法」「乗法」「群」「体」などの言葉に独自の定義をしたなら、加法と乗法の両方で群になっている体の例もあるかもしれません。私が知る言葉の意味は教科書的なものですから、もし違った定義を採用されているのでしたら、あなたの使う言葉の正確な定義を述べていただかないと答えようがありません。
あなたのいう「加法」「乗法」「群」「体」の定義は何ですか？

お礼

>だからあなたが質問されているような対象はそもそも体ではありえません。
つまり、そのような例は存在しないという回答ですね。
最初から、そういえばいいのです。

ただ、あなたの主張は、K-{0}が乗法群だからKは乗法群ではないとも聞こえます。
それだと少し単純すぎます。
Kが乗法群にならないことをきちんと説明する気がなく、明らかで済ませようとするなら、いちいちK-{0}を持ち出して話をにぎやかにする必要を感じません。

ありがとうございました。

補足

ひとつ言い忘れました。

>あなたのいう「加法」「乗法」「群」「体」の定義は何ですか？
私の知っている体の定義は、標準的なものです。
しかし、中には独自の定義を採用している人もいます。
以下を参考にしてください。

http://qa.daigakuin.ne.jp/qa8657835.html

回答No.2

sunflower-san

間違ってるというのは、「K-{0}が乗法について群をなす」という点か、「可換な群である」という点かどちらですか？

前者はあらゆる体について正しいですし、後者は体の定義に「乗法についての可換性」を入れるかどうか次第です。

補足

そういうことではありません。
「乗法」ということばは、K×KからKへの写像、つまりKにおける演算として使用済みです。
定義域を(K-{0})×(K-{0})に狭めるなら別の演算といえますから、乗法ということばは使用できないはずです。

回答No.1

sunflower-san

通常、体の定義は「可換環のうち、0以外の元に逆元があるもの」です。
あらゆる体Kは、その定義から加法について可換群であり、またK-{0}は乗法について可換群をなします。

あなたのいう体の定義はなんですか？
たとえば乗法が結合的だが非可換なものを含めると、ハミルトンの四元数などいわゆる斜体と呼ばれるものが考えられます。この場合K-{0}は可換とは限らない群になります。また乗法の結合性も仮定しないが、0でない全ての元に右逆元と左逆元が存在するような代数を考えるのであれば、ケーリー代数(八元数)のような例があります。

補足

「またK-{0}は乗法について可換群をなします。」というのは、間違っていませんか。