大学の数学の問題です。

質問

f(x)=xsin1/xが（0.1]で一様連続かどうかの証明なのですが、以下のものであっているのかわかりません。

任意にε＞０をとる。δ＝ε/２となるδ＞０をとると、｜a-b|＜δのとき
｜ｆ（a）-f(b)|＝|(asin1/a)-(bsin1/b)|となり、ここで、０＜|asin1/a|＜１であるので、＜｜2a-2b｜
＜２｜a-b｜＜２δ＝ε　　　（終了）

これでよいのでしょうか。
足りない部分があるような気もするのですが、わかりません。
わかる方いらっしゃいましたら、ご教授よろしくお願いいたします。

尚、先生に聞いたほうがよいなどというような回答は、申し訳ありませんがお控えください。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

まあ、「ε-δ 論法を使え」という指示が特に無いのであれば、f(0)の値を適切な値に定義すれば、fが[0,1] （これはcompact）上で連続になるからそれで終わりですけどね..

「ε-δ 論法で証明せよ」というのなら、sin(1/x)がx=0の近傍で激しく動くのが問題となるので、
場合分けをしないといけない。

任意の正数εをとったとき、0 < x ≦1, 0 < y ≦ 1に対し、
|x*sin(1/x) - y * sin(1/y)|
= | { x*sin(1/x) - x*sin(1/y) } + {x*sin(1/y) - y * sin(1/y)} |　(A)
≦ |x| |sin(1/x) - sin(1/y)| + |x-y| |sin(1/y)|
≦ |x| |sin(1/x) - sin(1/y)| + |x-y|
≦|x| * min {2, |1/x - 1/y|} + |x-y|　（平均値の定理はつかっていいのかなあ？）
= min{2|x|, (|x-y| / |y|)} + |x-y|

あとは、xが0に近いときと、遠い時とで分けて考えてください。

因みに、
> ２に関しては、｜sin1/a｜と｜sin1/b｜はそれぞれ１以下になると
> 思ったので、
それなら、|(a*sin(1/a))-(b* sin(1/b))|＜｜a| + |b｜までしか言えません。

回答No.3

tmpname

（A）とか書いてあるのは無視してください。

回答No.1

nag0720

全然証明になってませんね。

疑問点１：　０＜|asin1/a|＜１であるので、

０＜|sin1/a|＜１　の誤記？

＝が付かないのはなぜ？

疑問点２：　|(asin1/a)-(bsin1/b)|＜｜2a-2b｜

例えば、sin1/a=1、sin1/b=0　なら、
|(asin1/a)-(bsin1/b)|＝｜a｜
sin1/a=1、sin1/b=-1　なら、
|(asin1/a)-(bsin1/b)|＝｜a+b｜
となるが、
｜a｜＜｜2a-2b｜　、　｜a+b｜＜｜2a-2b｜　と言えるのか？

そもそも、どこから2a,2bが出てきたのか？

補足

すみません。
１に関しては、おっしゃる通りの誤記です。
≦である間違いも、その通りです。

２に関しては、｜sin1/a｜と｜sin1/b｜はそれぞれ１以下になると思ったので、２であれば抑えられると思ったからです。

それではどのような解答をすればよいのでしょうか。
本当に申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。