大学入試の数学でわかんないところを４つ

質問

質問１：　Ａ≦ＢでＣ＜ＢならばＣ＜Ａ≦Ｂと言えるか？
質問２：　ｆ’（x）とｆ’’（ｘ）が存在しないときｆ（ｘ）は存在するか？理由をつけて説明しなさい。
質問３：　連続と微分可能がよくわからないんですけど、この２つにはどんな関係が（意味上の）あるんですか？
質問４：　どのようなときに『連続であり微分可能』と断らなくてはならないんですか？

回答No.3

shirotan_chop

質問３・４に対する回答：

一変数の関数f(x)が定義域内のある点aで微分可能であるということは
関数f(x)の定義域内のある点x=aにおいてf(a)が連続かつ、
次の式を満たすことである。

lim { f(x)-f(a) } / { x-a }　
x→+a　
　　　　　　=

lim { f(x)-f(a) } / { x-a }　
x→-a　　　　

　（右からの極限　=　左からの極限）

このとき
lim { f(x)-f(a) } / { x-a } = f'(a) 　
x→a　　　　　　　　　　　　　　
がf(x)の点aにおける微分係数である。

よって、連続であるが微分可能でない関数があるので、
微分を必要とする場合は微分可能と断らなくてはならない。
また、定義から微分可能であれば連続。

(例) f(x) = x (x>=0)
-x (x<0 )
f(x)はx=0において連続であるが微分可能でない。

質問２に対する回答：

１つでもそのような関数が存在するかという問いに対しては、
上記の例がその回答です。

回答No.2

quotani

質問３
連続とは、１変数の場合
関数f(x)の定義域内のある点x=aにおいてf(a)が定義されていて、
lim f(x)=f(a)
x→a
ならば連続であるという。
イメージとしては、グラフを描いたら途切れるところがなくて尖った所もないような感じじゃないでしょうか。

ちなみに関数が連続である区間でしか微分可能ではありません。
微分ってのはとりあえず接線の傾きを表してるって思えばいいと思います。尖った所は接線がいくつも描けちゃいますよね。そうすると連続でないときは微分できないってのがイメージとして感じられないでしょうか。

回答No.1

takebe

とりあえず，質問1だけ(^_^;)．

例えば，3≦5で4＜5ですが，4＜3≦5ではないですね．

それとも，問題の意味は，A≦BとなるすべてのBについてC＜Bということでしょうか?