全微分可能性の問題です。(再考しました)
回答者の皆様にはいつもお世話になります。
以下の全微分の問題ですが、全微分可能性の厳密な理解が私自身できていない気がします。
お知恵をお貸しください。
問題：f(x,y)が点(a,b)で全微分可能である事の定義を示し、それを利用してf(x,y)=√(1-x^2-y^2)の原点での微分可能性を証明せよ。
f(x,y)がxとyについて偏微分可能である。(fx,fyと表現します)
f(x,y)を点(a,b)の周りで一次近似する最良の平面はf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)であり、その誤差εはf(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}となる。
(x,y)→(a,b)の時、この誤差εがベクトル((x-a),(y-b))の絶対値√((x-a)^2＋(y-b)^2)より先に0になれば微分可能なので、lim[(x,y)→(a,b)] [f(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}] / √((x-a)^2＋(y-b)^2)=0がf(x,y)の点(a,b)における全微分可能の定義となる。
f(x,y)=√(1-x^2-y^2)のとき、f(0,0)=1
fx(x,y)=-2x・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fx(0,0)=0
fy(x,y)=-2y・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fy(0,0)=0
∴ε=√(1-x^2-y^2)-1-{0・(x-0)＋0・(y-0)}=√(1-x^2-y^2)-1
又ベクトル(x-0,y-0)の絶対値は√(x^2+y^2)
以上より、lim[(x,y)→(0,0)] {√(1-x^2-y^2)-1}/√(x^2+y^2)=0の時、全微分可能
極座標で考えると、(x,y)→(0,0)の時、r→0であり、x=r・cosθ,y=r・sinθ、
代入してlim[ｒ→0] {√(1-r^2)-1}/r、分子を有理化して、
lim[ｒ→0] -r^2/{r√(1-r^2)+1}=lim[ｒ→0] -r/{√(1-r^2)+1}=-0/2=0
つまり全微分可能である。
というアプローチで如何でしょうか？
ご指導願います。
