証明問題１

質問

[問]
ｆ(ｘ)は[ａ,ｂ]で連続、(ａ,ｂ)で微分可能でｆ(ｘ)≠０とする。
もし、ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝０ならば、任意の数ｋに対して、

　　ｆ'(ε) / ｆ(ε) ＝k　　(ａ＜ε＜ｂ)

となるεが存在することを証明せよ。

問題文より、ロルの定理を利用するような気がするんですが…、
それが合ってるのかも、また、解き方もわかりません。
毎回すみませんが、ぜひよろしくお願いします。

回答No.1

zk43

f'(x)/f(x)=kとすると、
f'(x)-kf(x)=0
e^(-kx)f'(x)-ke^(-kx)f(x)=0
{e^(-kx)f(x)}'=0
となる。（線形微分方程式を解く時のような感じ）
これより、g(x)=e^(-kx)f(x)に対してロルの定理を適用できるか試してみる。
g(a)=e^(-ka)f(a)=0
g(b)=e^(-kb)f(b)=0
g(x)は[a,b]で連続で、(a,b)で微分可能なので、ロルの定理が適用
できて、
g'(ε)=0すなわち、e^(-kε)f'(ε)-ke^(-kε)f(ε)=0となるε(a<ε<b)
が存在する。
両辺をe^(-kε)で割って移項すると、
f'(ε)=kf(ε)
f(ε)≠0なので、f(ε)で割ると、
f'(ε)/f(ε)=k
となる。