訳の分からない問題に当たってしまって困っています

質問

「任意の写像 f:X→Y と部分集合 A⊆X , B⊆X に対し、f(A＼B) ⊇ f(A) ＼ f(B)」を証明する問題があったのですが、手元の教科書を見ても、解答がありませんし、インターネットのサイトを回っても、一向に見付かりません。自分で証明しようとしても、結局分からずに詰まってしまいます。

もし、この証明が書いてあるサイト等があったら、アドレスを教えていただけないでしょうか？
もしなかったら、せめてヒントだけでもお願いします。

回答No.3

nag0720

集合と写像の基本的な定義だけで証明できる問題です。

次の命題（定義）を理解できるのなら、これらを組み合わせれば証明できます。

(1)　Ａ⊆Ｂ　⇔　「x∈Ａ　⇒　x∈Ｂ」
(2)　x∈Ａ＼Ｂ　⇔　「x∈Ａ　かつ　￢(x∈Ｂ)」
(3)　f:Ａ→Ｂ　⇔　「すべての　x∈Ａ　に対して　f(x)∈Ｂ」
(4)　y∈f(Ａ)　⇔　「y=f(x)　となる　x∈Ａ　が存在する」
(5)　￢(y∈f(Ａ))　⇔　「すべての　x∈Ａ　に対して　y≠f(x)」　　（(4)の否定）
（＼は差集合、￢は否定）

理解できなければ、集合について基礎からやりなおしたほうがいいです。

お礼

このヒントのおかげで、行き詰まったところは、自分で40%解決しました。あとは、明日に図書館で調べます。今、テスト前で忙しいので、無責任なことしてすみませんが、ここで締め切らせていただきます。

補足

命題の方は、理解できました。しかし、

y ∈ f(A)＼f(B) ←→ (∃x ∈ A ; f(x) ＝ y) ∧ ( ∀x ∈ B ; f(x) ≠ y )
のところで、この先どうすればいいのか分からず、行き詰まってしまいました。

回答No.2

noname#108210

>もし、この証明が書いてあるサイト等があったら、
>アドレスを教えていただけないでしょうか？

証明は掲載されてないでしょうけど，
記号「＼」の意味や，「写像ｆ」の意味くらいは，調べられます。調べてみてください。

記号「＼」→「数学記号」，「＼」
写像→「写像」

回答No.1

kabaokaba

＞自分で証明しようとしても、結局分からずに詰まってしまいます。

どうやって証明しようとしてるのか
それを書かなければいけません．

ちなみに証明自体はきわめて簡単．
像の定義にしたがうことと
背理法をちょろっとつかうだけ．