関数の連続性ε-δ論法

質問

f(x)=xsin(1/x) (x≠0)
f(x)=0 (x=0)
(1)x=0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。
(2)x≠0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。

(1)ε-δ論法を用いて連続性を調べる。
0<x-0<δのとき
|f(x)-f(0)|=|xsin(1/x)-0|=|x|*|sin(1/x)|≦|x|<δ
上記の式より
lim[x→0]xsin(1/x)=0である。
よって
x=0のときf(x)は連続である。
f'(x)=lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/h=lim[h→0]{hsin(1/h)}/h
=lim[h→0]sin(1/h)
lim[h→0]sin(1/h)の極限値は存在しない
よってf(x)は原点において微分不可能である。

(2)(1)と同じようにε-δ論法を用いて連続性を調べる。
任意の点をaとおいて
0<|x-a|<δのとき
|f(x)-f(a)|=|xsin(1/x)-asin(1/a)|
=(x-a)sin(1/x)+a{sin(1/x)-sin(1/a)}
=(x-a)sin(1/x)+2a[sin(1/2){(1/x)-(1/a)}cos(1/2){(1/x) + (1/a)}]．．．．．和と積の公式

となるのですが、ここから上記の式が
上記の式<δ
にどのようにすれば良いのかが分かりません。
また、微分可能性は
lim[h→0]{hsin(1/h)-asin(1/a)}/h
=lim[h→0]sin(1/h)-{asin(1/a)}/h
となってよくわからなくなってしまいます。

お願いします教えて下さい。
以上よろしくお願い致します。

回答No.2

endlessriver

＞(1)ε-δ論法を用いて連続性を調べる
といっていますから、結論でlim論法に変えるのは変ですね。どちらかに統一しましょう。普通は次のようになると思います。

x≠0とする
任意のε>0に対して|x-0|<εとすれば（δ=εとした）
|f(x)-f(0)|=|xsin(1/x)-0|=|x|*|sin(1/x)|≦|x|<ε.......(A)
x=0の時もf(x)=0だから(A)が成り立つ。故にf(x)はx=0で連続。

＞(2)(1)と同じようにε-δ論法を用いて連続性を調べる。
＞任意の点をaとおいて
x=0のときの連続性は確かめられたのでa≠0として（0以外の任意の点a、a=0だと不具合なので）、

任意のεに対してあるδ>0が存在するとして（δの値は結論を見て、ここで設定したほうが良いと思いますが、わかりやすさのため、最後に決めます。）、まず
δ≦|a|/2.........(B)
の設定をする。
|x-a|<δのとき......(C)
（すると|a|-|x|≦|x-a|≦|a|/2だから|x|≧|a|/2。すなわちx=0となることはない）。
|f(x)-f(a)|=|xsin(1/x)-asin(1/a)|
=|(x-a)sin(1/x)+a{sin(1/x)-sin(1/a)}|
=|(x-a)sin(1/x)+2a[sin(1/2){(1/x)-(1/a)}cos(1/2){(1/x) + (1/a)}]|．．．．．和と積の公式
=|(x-a)sin(1/x)|+2|a||sin(a-x)/(2ax)||cos(x-a)/(2ax)|
≦|x-a|+2|a||sin(a-x)/(2ax)|......sin y,cos y≦1を使用
≦δ+2|a||(a-x)/(2ax)|.....|sin x|≦|x|を使用。
（(B),(C)から1/|ax|≦1/|a|^2）
≦δ+δ/|a|=(1+1/|a|)δ
したがって,(B)とあわせてδ=min｛|ε/(1+1/|a|),|a|/2｝とすれば結論が得られます。

＞また、微分可能性は
＞lim[h→0]{hsin(1/h)-asin(1/a)}/h
＞=lim[h→0]sin(1/h)-{asin(1/a)}/h
＞となってよくわからなくなってしまいます。
計算式がミスです
lim[h→0]{(a+h)sin(1/(a+h))-asin(1/a)}/h
です。

回答No.1

adinat

この問題は(1)の方が本質的で、(2)はおまけみたいなものなんです。で(1)は完璧にできちゃってるんですね。あまり難しく考えないことです。

結論から言ってしまうと、(2)の場合は二つの可微分関数xとsin(1/x)の積だから連続かつ微分可能です（原点以外での話ですから！）どうせ微分できるのですから、連続性の証明は省略して（微分可能なら連続！）微分可能性の議論をやってみましょう。合成関数の微分の公式を思い出せばできます。

直接連続可能性の議論をするなら、和積の公式を使ったところで、sin(1/2){(1/x)-(1/a)}が微少であることを証明します。このままでは少し見にくいので(1/2){(1/x)-(1/a)}でいったん割っておいてそれを再びかけて、sin(1/2){(1/x)-(1/a)}/(1/2){(1/x)-(1/a)}をみてみると、これはsinx/xの形をしています。この絶対値は1以下です。(1/2){(1/x)-(1/a)}からx-aの項を取り出すことができます。分数形になるので、δの形は工夫してください。

ちなみにε-δの練習問題だと思うならこのような面倒なことをやればよいですが、普通は連続関数の積や合成は連続、可微分関数の積（積の微分則）や合成（合成関数の微分則）もまた微分可能になるのはすでに習われていると思うので、(2)は明らかとやってもよいです。(1)は原点で不連続になる関数sin(1/x)と原点で0になる連続関数xの積をとっているので、ややこしいことになっているのです。したがって注意深く議論する必要がある。