同値

質問

原始ピタゴラス数が無数にある　という命題と　原点中心の単位円上には有理点が無数にあるという
命題は　同値らしいのですが、その証明方法が分かりません。
各々の証明は完了しており、原始ピタゴラス数から単位円上の有理点の無数性については証明できますが、その逆が出来ません。どうか教えていただきたいです。

回答No.4

alice_44

←A No.1 補足
既約分母が互素だなんて制約は課していない。
No.1 の内容をクドクド書くと…

x,y を正の有理数とすると、既約分数表示が
一意に存在する。それぞれ s/t,u/v と置く。
s と t、u と v の組は互素だが、t と v が
互素だとは限らないし、その必要も無い。

t と v の最大公約数を g、また t=ga, v=gb
と置く。既約分母の最小公倍数による通分は
x=(sb)/(gab), y=(ua)/(gab) となる。
この表示は、x,y の組に対して一意的である。
最大公約数の定義により、a,b は互素である。

x^2+y^2=1 であれば、(sb)^2+(ua)^2=(gab)^2
だから、sb,ua,gab がピタゴラス数となる。

sb,ua,gab の三数が共通の素因数 p を持つと
仮定する。p は gab を割り切るのだから、
g,a,b のどれかを割り切る。

(1) p が g を割り切る場合→ a,b は互素だから
両方が p で割り切れることはなく、
p が sb,ua を割り切るためには s または u が
p で割り切れなければならない。それは、
s/(ga), u/(gb) が既約であることに反する。

(2) p が a を割り切る場合→ a,b は互素だから
p は b を割り切らない。p が sb を割り切るため
には s が p で割り切れなくてはならない。
それは、s/(ga) が既約であることに反する。

(3) p が b を割り切る場合→ (2)と同様。

このように、sb,ua,gab が共通の素因数を持つと
仮定すると、矛盾を生ずる。よって、
ピタゴラス数 sb,ua,gab は原始的。
(三数の内の二個が公約数を持っても構わない。)

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

後は 1:1 であることを証明すればよいです。

1) 異なるピタゴラス数が異なる有理点に対応すること。
2) 異なる有理点が異なるピタゴラス数に対応すること。

ピタゴラス数 a, b,c の組　

A)a, b の比で有利点が決まる。
B)ピタゴラス数の定義から、a, b,c が互いに素、
　つまり a, b が互いに素である

ことから、1), 2) は明らかですよね。

回答No.2

Tacosan

ん?

「共通分母がx,yの既約分数の分母の最小公倍数、つまりx,yの既約分数の分母が互いに素」ですか? 「つまり」がどうして成り立つのか分からないんだけど.

一応確認ですが,
3, 4, 5
は「原始ピタゴラス数」ですか?

回答No.1

alice_44

単位円上の有理点の x,y 座標を通分して、
その共通分母を斜辺長とする直角三角形を書けば、
ビタゴラス数の無数性が示せる。
共通分母が、x,y の既約分母の最小公倍数ならば、
この直角三角形の辺は原始ビタゴラス数である。

補足

なるほど。確かにそうなのですが、一つ疑問というか私自身の理解能力の無さと言いますか、腑に落ちない点が一つあります。
ピタゴラス数の無数性は証明できることはわかりました。しかし、共通分母がx,yの既約分数の分母の最小公倍数、つまりx,yの既約分数の分母が互いに素という制限を課す時点で、課す前と同値であることを証明する必要はないのでしょうか？