実数とコーシー列

質問

実数aを有理数のコーシー列anの同値類とし、a=［{an}］と表記しそれが言える時、｜a｜=［{｜an｜}］が言えるかいえないかという問題ですが、a=［{an}］が与えられてるので当たり前の様に言えると思うのですが、どうやって証明すれば良いか分かりません。
どなたか分かる方ヒントだけでも良いので教えてください。宜しくお願いします。

回答No.5

naozou · ベストアンサー

No1, 3です。
早く気がつけばよかったのですが、最初に補足いただいていた
『Sを実数のコーシー列{an}とし、anは実数aに収束し、もし正の整数rが与えられた時に、|an-a|＜Φ(1/r) n>Nを満たすnが存在する場合、Sの極限はaと言える』
という命題ですが、これは今の絶対値の話よりも2,3ステップ先の話です。

今の絶対値の問題は、この命題以前の問題です。
質問や補足から想像するに、次のような流れで来たのではないかとおもいます。

(有理数の四則演算、絶対値は認めて)
1. 有理数列{an}が0に収束を定義する:
任意のrに対してあるNがあり n>N のとき |an| < Φ(1/r)
2. 有理数のコーシー列を定義する:
任意のrに対してあるNがあり、n,m > N のとき|an - am| < Φ(1/r) となる。
3. 有理数列の同値類を定義する:
{an - bn} が0に収束するとき{an}と{bn}が同値である、同値関係を定義し、
有理数体から実数Rを定義する
4. {an} の代表元を {an} の極限という。
つづいて、
5. {an}, {bn} を実数を定めるコーシ列とするとき、{an + bn} もコーシー列とか
有理数 q に対して {q * an} もコーシー列とか云々・・・
また、その an + bn の極限として、実数の和を定義して、これは有理数の演算と矛盾しない
という感じになったとおもいます。

さらに、
6.実数のコーシー列の定義
7.コーシー列の収束性(書いていただいた命題)
と来たんではないかと思います。

ご質問の絶対値は5.と並んで証明されることです。
4. までで分かったのは、有理数の極限として実数が定義できる。
ということだけです。
5.では、たし算や引き算、掛け算、割り算、絶対値の定義はどうなるの?
(四則演算や絶対値はどう定義すれば、有理数もひっくるめて丸く収まるの?)
ということです。

証明のテクニカルなところは、補足を拝見するかぎり、問題なさそうなので、No4の方がおっしゃるとおり、整理してみてください。

お礼

今日模範解答を見ましたが、とても長い証明で理解するのに時間がかかりそうですがもう少し考えてみたいと思います。親切に回答していただきありがとうございました。また質問すると思いますが宜しくお願いします。

回答No.4

koko_u_

>これはあくまでanが実数の場合であって今問題文中で実数aは
>有理数のコーシー列anの同値類であると定義されています。

だいたい「kotie さんが何がわかっていないか」はわかりました。

まずは実数に対する予備知識を全て捨ててください。今まさに「実数」を定義しようとしているので、実数について kotie さんは「まだ何も知らない」と自己暗示をかけて下さい。

その上で、「有理数から成るコーシー列の同値類」が「実数」だと更なる自己暗示をかけて下さい。あなたはまだ数直線も実数の大小関係も四則演算も何も「知りません」。

続いて、「実数」の絶対値や加法や様々な操作を今まさに定義した「実数」に対して定義すると考えて下さい。そして「何を知っていて、何を知らないか」を整理して考えましょう。

お礼

有理数から実数へのアドバイスどうもありがとうございました。またよろしくお願いします。

回答No.3

naozou

No1 です。
(No2の方がおっしゃるように、問題文が少しおかしいかもしれません。
または、質問者の方が実数の構成の流れを完全に理解されてない感じもいたします。(ごめんなさい。))

どのような定義、定理を使ってよいのか分からないのですが、
たとえば、
「実数 a, b をそれぞれコーシー列の極限 a = {an}, b = {bn} で定義するとき、
数列{an + bn}はコーシー列である。」(これで和を定義するとか続いたかも)
といった定理を証明しませんでしたか? 流れはこれを同じです。
テクニック的には高校などで習う絶対値の計算公式が必要です。
(あとは、ε-δ論法について図書館で調べるとか・・・)

補足

その和の定義は有理数では証明しましたが、実数ではまだです。私の考えた方法では先ほどの|a-b|>=|a|-|b|と、『Sを実数のコーシー列{an}とし、anは実数aに収束し、もし正の整数rが与えられた時に、|an-a|＜Φ(1/r) n>Nを満たすnが存在する場合、Sの極限はaと言える』を使い、

|an|-|a|=＜||an|-|a||＜Φ(1/r)と変形すると|an|は|a|に収束する実数のコーシー列になると思うのですが、

これはあくまでanが実数の場合であって今問題文中で実数aは有理数のコーシー列anの同値類であると定義されています。

実数と有理数が混じっていてこんがらがってます。理解しにくい文だとは思いますが、質問の意味はご理解いただけましたでしょうか？

回答No.2

koko_u_

>今の所実数のコーシー列に関して使えそうな定義は
>『Sを実数のコーシー列{an}とし、anは実数aに収束し、
>もし正の整数rが与えられた時に、|an-a|＜Φ(1/r) n>Nを満たす
>nが存在する場合、Sの極限はaと言える』位です。

コーシー列の定義は、距離空間なら全て同じです。ANo.1 の方が指摘しているように、絶対値(=距離)が定義できているかどうかだけが問題となります。

そして、それがまさに今証明しようとしていることです。その意味で問題文の表記にいささかの問題があるようです。

{a_n} と {b_n} が同値な有理数のコーシー列であるとき、{|a_n|} と {|b_n|} が同値であることが言えて始めて [{|a_n|}] という表記が well-defined となり、それが即ち「実数」の絶対値の定義となります。

さらにこの定義が有理数の場合と矛盾していないことも確認する必要があるでしょう。

回答No.1

naozou

ヒントだけにしておきます。

実数の定義の方法にもよりますが、問題の意図は、|an|がコーシー列かどうか（収束するかどうか）です。
おそらく、コーシー列の極限として実数を定義したならば、その極限の存在性や、二つのコーシー列の和について極限が存在するかどうか、などを勉強されたのでないかとおもいます。絶対値についても同じようにやってみなさい、という趣旨の問題です（おそらく）。見た目は当たり前の問題ですが。

＞ 当たり前の様に言えると思うのですが

有理数から実数を構成しているので、「まだ」実数の絶対値は定義されていないということを注意してください。

補足

ご回答ありがとうございます。
＞＞コーシー列の極限として実数を定義したならば、その極限の存在性や、二つのコーシー列の和について極限が存在するかどうか、などを勉強されたのでないかとおもいます。＞＞

有理数ではやったのですが、実数ではまだやってません。今の所実数のコーシー列に関して使えそうな定義は『Sを実数のコーシー列{an}とし、anは実数aに収束し、もし正の整数rが与えられた時に、|an-a|＜Φ(1/r) n>Nを満たすnが存在する場合、Sの極限はaと言える』位です。
あと、実数の関係でこの定義に関係ありそうなのは|a-b|>=|a|-|b|位です。与えられた定義と定理しか使ってはいけないようなので苦戦してます。もう少しヒントが頂けたら嬉しいです。宜しくお願いします。