有理数に同値類があるなら、どんな表現ですか？

質問

・次の数、次の数と見つけていくと並ぶこと。
・0がある、0があるがある、0があるがあるがある、・・・のように「がある」で同じ区別の別のものが並ぶこと。
・順番があって、前、後の区別を繰り返しすると、どんどん並ぶということ。
・同じ操作の繰り返しで並ぶこと。
で、自然数が0,1,2,3・・・と並んでいることが分かりました。
見つけたから、並ぶのか、もう並んでることにしたから、見つかるのかはどっちが正しいかは
確信がありません。直感的に私は「見つけた、から、並ぶ」と思っています。
(質問：自然数が等間隔に並ぶことを証明できるでしょうか？で前に教えてもらいました。)

同じ区別でずーっとならんでいるものを、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10個の数字と、数字を置く枠を決めて、右端を1の枠(位)その左を10の枠(位)とすると、簡単にあらわせます。
ずーっと並んでいるものを順に移動することを、10個の数字と枠のルールで、枠ごとの関係に分割して、移動して簡単になっていることがわかって、

足し算、引き算、掛け算をすると、好きな数から、どの数へでも、移動できる計算があって、
移動の仕方、前へ進むや、後ろへ進むや、一気に飛ぶといった方法で、数をつかってどれだけ、進む、どれだけ飛ぶが書けることがわかって、

それで、掛け算の逆として割り算をすると、0と1の間にたくさんの数があるはずなので、
自然数の組を決めて、その組が、0と1の間へ行く決まりで、間のたくさんの数を表せます。
ということがわかりました。(math stories 計算とは何か)

そこで、0と1の間だけでなく、1と2の間や、2と3の間を考えてしまうと、0と1の中間があって、1と2の中間もあって、2と3の中間もあって、全部の自然数の間にも中間があります。

すると、0と中間の間と中間と1の間と1と中間の間と、中間と2の間と、・・・・の全部の間が同じ区別のような気がしてきました。
だから、最初に次の数を見つけるとき、どうして、中間が見つからなかったのか、後になって割り算をするとどうして見つかるのか疑問に思ってしまいました。
中間は0.5とか1.5とか名前がついていますが、名前が指し示すものがこっそり自然数だったとしたら、
有理数だときがつかずに「ああ、順番にならんでんのね」とおもって、自然数だと思ってしまうような気がします。
疑問に思ってしまうと、頭の中の数直線の0と1の間がどんどん伸びてしまって、固まらなくて困ります。

疑問を棚に上げて、先に進むと、たぶん自分がわかってないのが、自然数では単位が1で1つの同値類だったのが、有理数ではよくわからない細かいたくさんの別々の単位、たくさんの同値類？
になっていることだと思います。

自然数の数の組はたくさんあって0と1の間へ行く決まりで、0と1の間に詰め込むので、中間だけでなくて、みっしり数が詰まっていて、数の間がなくなります。だから、みっしり詰まった数たちは、自然数とは別の種類の数なんだろうな、それが、有理数なんだろうなと思います。
数たちとしてみると、自然数と違って感じますが、1個つをとりだしてしまうと、自然数との区別がつかなくなってしまいます。

まとめますと、自然数と有理数の区別はどんな表現になるのでしょうか？
たとえば、「自然数たちには間があるけれど、有理数たちには間がない」といえる気がします。
しかし、有理数たちが1種類のタイプじゃなくて、0と1の間や1と2の間にそれぞれ1個づつ同じタイプが在るとは思うと、間があるといえる気がします。
そして、0と1の間にあるみっしり詰まった有理数たちの1つづがそれぞれ別のタイプのもの
のような気がして、0と1の間がもやーっと伸びはじめます。
また、「有理数なんかない！」と強く念じると、自然数の間にも間が無いと思えます。

自然数を決めてからでないと、有理数は決まらないという前後関係、順番があるでしょうか？
あるとして、どうしてその順番があるのでしょうか？

有理数の中に含まれている0や１や2は、自然数と有理数に同時になっているとすると、自然数と有理数の区別ができない数と、区別ができる数があるのでしょうか？
自然数の数の組の0と1の間へ行く決まりをつかって作った数たちは、自然数の並びとは「別のところ」にならんでいるような、重なっているようなあいまいな感じです。
自然数から、有理数へ、割り算で行けるということと、自然数から自然数へ、足し算、引き算、掛け算で行けるの区別がうまくできずに、「別のところ」がたくさんできてしまって困る感じです。

これが、自然数だ！というのは、わかっている気がしますので、これが、自然数でない有理数だ！というものはどういう表現になるのでしょうか？

「1かたまりの数たちの中で、好きな数から引き算、足し算、掛け算、割り算で行きたい数へ行けるんだ！行けない数もあるんだ！そして別のところなんかない！」
っていうことを数学の人たちは分かってる感じがして、その境地に達したいです。

なるべくなら、無理数、虚数は使わないで回答を希望しますが、使ったほうがわかりやすそうなら、かまいません。外から見たほうがいいのかもしれません。
もしかすると、幾何学で説明しやすいかもしれません。
レンズで数直線を拡大とか、ゴムでできた定規を引っ張るとか、グラフとかかもしれません。

わかっている方には、私がどこをわかっていないか、まちがっているかがわからないかもしれません。
ご無理をもうしあげますが、多分ここが分かってないんだろうな～こういったらわかるかな～と、いいかんじに推測していただいて、回答いただくことになると思います。

数など存在しない！とか、間やタイプってなんだ！とか、見つかるってなんだ！とか定義してから聞け！とか、比だよ！！！とか、さっぱりした回答を拒否するわけではないですが、なるべく、こちらのほうに歩み寄っていただけるとありがたいです。

回答No.2

rabbit_cat

正直、＃１の補足は、あまりに抽象的過ぎて、言わんとすることを推測しようとしても推測しきれないですが。。

多分
＞「見つけて、そのあとで、並べる、けれど、どこに並ぶかは見つけた順番と関係ない」
これが間違っているんだと思います。

有理数全体は、カントールの対角線順序という（有理数の実際の大小関係とは無関係な）順序で、１列にならべることはできます。

しかしながら、それをうまいこと並び替えることで、最終的に、有理数全体を、有理数の実際の大小関係にしたがって１列に並べる、というのは不可能です。

お礼

だいぶ間が開いてしまいました。
0と1の間はいくらでも掘り下げることができる。かつ、同時に隙間は無い。これを自然数をつかって埋めようとすると、自然数が無限にたくさんあって、いつも次がみつかるから、自然数の素数の組を分母と分子に共通なものが無いようにして、帯分数にした所は除いてたくさんの小数が、あんまり順番じゃなく、たくさんでてきていつも間を探すと見つかるようになっているんだと思いました。
なんとなくわかったのは、10進数を2進数に基数変換するときでした。小数点から左側と右側がまったく関連しない。左側は左側。右側は右側で完結している。だから、自然数と小数という区別が自分としてはしっくりきました。
そんな感じで、小数って順番無いな。と思いました。
有理数って順番無いかどうかは微妙です。だって、ぽつぽつ自然数があるんだもの。
ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。

有理数の同値類は以下だという感じですね。

有理数は、
有理数全体は一列にならべることはできるけれど、大小関係によって一列にならべることができない
ような数だ。

全部いっぺんに大小関係が言えない(たぶん、2個づつならできる)。

以上のように回答されていると思います。

数直線を学んでしまっていて、数直線がすでにあってそこに有理数が並んでるような気がしてしまいますね。

本題としましては、(1)自然数と有理数の区別と(2)有理数同士の区別ってどう言えばいいのさ？です。

もや～としたまま、気持ちの上では(1)の区別はできました。

いまのところ下記になります。

0と1が最強。あと繰り返し。
つまり、無、そして、無がある。あと繰り返し。
それで、自然数たくさん。

自然数たくさんから2個えらんで割り算で、
たくさん0と1の間にぎゅっと詰め込むと、有理数。
1と2の間や、2と3の間もおなじにぎゅっと詰まってる。

だから、自然数、の次に、有理数。
つまり、いきなり、有理数は言えない。自然数を言ってから、有理数。

という(1)の区別ができました。

(2)の区別について
自然数同士は、次の数という同じ区別が全部にできるように、有理数同士は、同じ区別ができるだろうか。
と、思いました。

自然数は1－0は１だし、3－2は１だし、隣り合う自然数の差はみんな１だ。

有理数は0.5－0.4は0.1だし、0.9－0.35は0.55だし、隣り合うもわからないし、差が一定ってのもわからない。どうしよう。

たぶん、自然数は、次の数、という区別。
有理数は、同じではない、という区別。
みたいになるのではないだろうか。

いまのところ上記です。

回答No.1

rabbit_cat

つまり、有理数が、可算（１列に順番に並べられる）、かつ、稠密（任意の２つの有理数ａ＜ｂの間に、常にａ＜ｃ＜ｂを満たす別の有理数ｃがある）、というのは、おかしくないか、ということなんですかね。
結論から言えば、可算という概念は、自然数の大小関係（「順序」や「距離」といった概念）とは全く無関係の概念です。

可算の「１列に並べられる」というのは、「小さい順に一列に並べる」必要はなくて、並び方の法則はめちゃくちゃでも何でもよいから、とにかく、１列に並べるやり方が１通りありさえすればよいです。

たとえば、自然数は、１，２，３，４,… ていう順番に並べることももちろん可能ですが、
どんな、めちゃくちゃな順番で並べてもよいです。
さらに言えば、並び方が前もって分かっている必要もありません。とにかく、結果的に並びさえすればよいんです。
例えば、「自然数の集合を入力すると、入力された自然数の集合に含まれない自然数を１つ、ランダム（何が出るかは全く予想できない）に出力する魔法の箱」があったとします。

１．まず、魔法の箱に空集合を入力すると、ランダムな自然数が１つ出力されます。
２．次に、１で出力された自然数を魔法の箱に入力すると、別の自然数が１つ出力されます。
３．さらに、１と２で出力された２つの自然数を魔法の箱の入力すると、新たな自然数が１つ出力されます。
４．１～３で出力された３つの自然数を魔法の箱に入力すると、新たな自然数が１つ出力されます
…

で、これを無限に繰り返せば、とにかく自然数全体を１列に並べられます。したがって自然数全体は「可算」です。
が、どんな順番で並んでいるかは全くわかりません。
したがって、
＞足し算、引き算、掛け算をすると、好きな数から、どの数へでも、移動できる計算があって、
＞移動の仕方、前へ進むや、後ろへ進むや、一気に飛ぶといった方法で、数をつかってどれだけ、進む、＞どれだけ飛ぶが書けることがわかって、
は全く成立しません。
自然数の場合に、これができるのは、たまたま、自然数を「大小関係にしたがって」一列に並べたからです。
正確に言えば、魔法の箱で出てきた順番で自然数の「大小関係」を定義したというべきかもしれませんが。

有理数全体も、ある魔法の箱（カントールの対角線順序）を使えば、とにかく、一列に並べることができます。（したがって有利異数全体は可算です）
一方で、有利数間の大小関係は、魔法の箱（カントールの対角線順序）の出力順序とは、全く無関係に（分子と分母の比で）決まっているわけです。
したがって、たとえば、有理数同士の足し算で、魔法の箱の出力順番の順序で見たときに何個「移動の仕方、前へ進むや、後ろへ進む」などは、ほとんど予測不可能です。

もちろん、自然数のときと同様に、じゃあ、魔法の箱（カントールの対角線順序）から出てきた順番で有理数の大小関係を定義したら、という方針はありです。。。ただ、何の役に立つかは知りません。

お礼

回答者様、投稿日時 - 2014-04-11 17:08:28の補足は質問者の書いたものです。
お礼の仕方がわからずすみません。

取り急ぎお礼いたします。

有理数は可算、かつ、稠密
自然数は大小関係

自然数は
Φ＝0、{Φ}＝1、{0,1}=2、{0,1,2}=3、・・・
集合(魔法の箱)で定義する。

有理数は
ある魔法の箱（カントールの対角線順序）
で定義する。

という感じですね。

有理数のなかにある、0や1や2や3たちがどーしても自然数に見えないのが気になって問いの題名になっておりました。

有理数は自然数を含むって教科書に書いてあったのに・・・。

加算、稠密、大小関係、カントール、対角線順序、
大小関係と順序は別のこと、有理数は進む、跳ぶができないこと

を教えてくれました。
たぶん、私の知りたいことにつながっていくんじゃないかなーと予感しています。

回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
知りたいのは、自然数と有理数の区別の方法です。

魔法の箱で出てきた順番で自然数の「大小関係」を定義している。
魔法の箱で出てきた順番で有理数の「大小関係」は定義していない。
分子と分母の比で有理数の「大小関係」は定義している。

回答を読みまして、一緒になっていました、順番と大小関係を区別できました。

自然数は見つかった順番と大小関係が対応するけれど、有理数は見つかった順番と大小関係が対応しないという違いがあるとわかりました。

たぶん、先に見つかった、自然数の場所が決まって、
間が有理数で埋まります。

「並ぶ」という言葉を使いたくないんです。相当する言葉は大小関係です。すこし惰性で使います。

それで、「見つけた、から(即)、並ぶ」は誤りで
「見つけて、そのあとで、並べる、けれど、どこに並ぶかは見つけた順番と関係ない」です。

有理数に、いつ、数字の組が付くのかが気になるところになります。

有理数全体に、一気に、数字の組が付く。
ひとつづつやっても同じ感じがします。
結局は全体に付きます。

有理数に、魔法の箱する、まえは数字の組が付いてない。

有理数に、自然数を魔法の箱する。
すると数字の組が付く。
(どうせ、自然数は全部あるから、組がかぶっても平気です。)
そのあとで、
大小関係を確認して
計算できるようになる。

有理数に数字の組が付くのは、
魔法の箱するからでしょうか？
それとも、
割り算を決めたからでしょうか？

たぶん、組が付いただけだと、足し、引き、掛けでは自然数から有理数に行けないから、割り算を決めたときだと思うのですがいかがでしょうか？
(行くという表現は良くないと指摘ありましたが使ってしまいましたすみません。)

魔法の箱の中に割り算が入っている感じがします。
割り算と呼ばずに、魔法の箱と呼ぶのはどうしてでしょうか？
魔法の箱と数の組と割り算と比でいい感じに説明できるといいのだと思います。