背理法って？

質問

√６が無理数であることを用いて、
√２＋√３が無理数であることを証明せよ。
普通は（？）
√２＋√３＝ａ（ａは有理数）とおいて、両辺２乗し
√６＝（ａ＾２－５）／２
となり、右辺は有理数となるので矛盾！
としますが・・・・、

(1)　√２＋√３を２乗して、５＋２√６！
　これが無理数なので、無理数！
　って証明になります？

(2)　有理数と仮定して、２乗しても有理数だ！
　ところが無理数になるので矛盾！
　これは？

私は、(1)は、５＋２√６が無理数になる証明が必要
　　　(2)は、有理数のみが２乗して有理数になるわけではない（逆が成り立たない）のでだめ？
と思うのですが、数人で話し合った結果、
背理法では逆は成り立たなくても良い！という結論になりました？

でも、いまいち納得できないので、専門家の意見をお聞かせ願えればと思います。

回答No.2

liar_adan · ベストアンサー

どこまで証明するかは、勉強しているレベルや、
解いている問題のレベルによっても違ってきます。
たとえば、(1)の問題は、
大学ならそのままで証明できたことにしてもかまいません。
しかし、背理法の使い方を勉強している段階では
証明を書かないと点をもらえないと思います。

(2)の問題について、
逆は成り立たなくてかまいません。
この問題は
「aが有理数なら絶対にa^2が有理数になる」…(※)
事を利用しています。
一方、「aが無理数ならa^2は無理数」は成り立ちません。
有理数になることがあります(たとえば√2)。
これは論理の用語では「逆」ではなく「裏」と言いますが、
いまは関係ありません。

背理法というのはつまりこういうことです。
最初にひとつだけ、正しいかどうかわからないことを仮定して、
それから正しい論理を積み重ねていく。
最終的に、おかしな結果になったら、論理のどこかにまちがいがあるわけだ。
だけど、論理の組み立て自体はまちがってはいない。
まちがいがあるとすれば、最初に仮定した、正しいかどうかわからないことだけだ。
だから、おかしな結果になったからには、
最初に仮定したことがまちがいであるに違いない…。
こんな感じです。

今回の場合、
「有理数を2乗しても有理数」
「有理数同士を四則演算しても有理数」
というのは正しい論理です。(これ自体、証明する必要はありますが)
だから、正しくないところがあるとすれば、
最初のaが有理数ということだけだ。だからまちがいだ、
となります。

回答No.5

stomachman

No.5は「実数」という言葉を使わないように書いてみたのですが、やっぱ誤魔化しちゃいけないなー、と思いまして、訂正です。

命題(a)について、
「xが無理数であるとは、しかもx=n/mとなる整数n,mが存在しない」というのは正確ではありません。
「xが無理数であるとは、xが実数であって、しかもx=n/mとなる整数n,mが存在しない」
と言うべきでした。同様に、
「xが有理数であるとは、xが実数であって、しかもx=n/mとなる整数n,mが存在する」
と言うべきなのですが、こちらについては
「x=n/mとなる整数n,mが存在するならば、xは実数である」ということが言えるもんですから、「xが有理数であるとは、x=n/mとなる整数n,mが存在する」だけでもイイという仕組みです。
以上から、
(a)「どんなxであれ、xが実数ならば、（もしxが有理数ならばxは無理数ではない）し、(もしxが無理数ならばxは有理数ではない）」
というのが正確なところです。

すると（「実数」という言葉を出した以上は）「xは有理数であるか無理数である」と言う代わりに「xは実数である」と言っても同じ事である（(a)から明らかです。）ので、
(b)は「√2+√3は実数である。」
(d15)も「5+2√6は実数である。」
と言うべきでした。

回答No.4

stomachman

専門家じゃないですが。

●√2+√3が有理数であると仮定する。
●(√2+√3)^2=5+2√6である。
●√6は無理数である。
とても良いアイデアですね。でも、きちんとやらないと証明にはなりません。

足りないのは、
(a) どんなxであれ、もしxが無理数ならばxは有理数ではなく、もしxが有理数ならばxは無理数ではない。
(b) √2+√3は有理数であるか、または無理数である。
(c) どんなxであれ、xが有理数ならば、x^2は有理数である。
(d) 5+2√6は無理数である。
を証明することです。これができたら、あとは以下のようになります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
√2+√3が有理数である…(1)
と仮定する。
どんなxであれ、xが有理数ならば、x^2は有理数である。…(c)
(1)と(c)から
(√2+√3)^2は有理数である。…(2)
さて、
(√2+√3)^2=5+2√6である。…(3)
5+2√6は無理数である。…(d)
(3)と(d)から
(√2+√3)^2は無理数である。…(4)
ところが
どんなxであれ、もしxが無理数ならばxは有理数ではなく、もしxが有理数ならばxは無理数ではない。…(a)
(4)と(a)から
(√2+√3)^2は有理数ではない。…(5)
(2)と(5)から
(√2+√3)^2は有理数であって、しかも有理数でない。…(6)
これは矛盾です。従って、最初の仮定(1)は偽である。
ゆえに、仮定(1)の否定
√2+√3は有理数でない…(1')
が真です。（このように、矛盾を導くことによって、最初の仮定の否定を証明するのが背理法（別名、帰謬法）です。もちろん、「逆が成り立つかどうか」なんてのはオカドチガイの話です。）
そして、
√2+√3は有理数であるか、または無理数である。…(b)
(b)と(1')から
√2+√3は無理数である。
証明終わり
となります。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

では(a)～(d)はどうやって証明するか。

(a) どんなxであれ、もしxが無理数ならばxは有理数ではなく、もしxが有理数ならばxは無理数ではない。
これは「無理数」「有理数」という言葉の定義から明らかです。すなわち
xが有理数であるとは、「x=n/mとなる整数n,mが存在する」ことである。
xが無理数であるとは、「x=n/mとなる整数n,mが存在しない」ことである。
「」の中が丁度互いに否定になっていますから、xが無理数であるならば有理数ではなく、xが有理数であるならば無理数ではない。

＊ただ注意すべきなのは、「どんなxであれ、もしxが無理数でないならばxは有理数であり、もしxが有理数でないならばxは無理数である。」とは言えないことです。どうしてかというと、xはどんなxでも良いのですから、x=馬、というのでも構わなくて、馬は有理数でも無理数でもありません。（「x=女ならxは無理数だ」という説はちょっと別の話です。）

(b) √2+√3は有理数であるか、または無理数である。
「√2と√3を足したものが、有理数でも無理数でもないワケノワカラナイものになったりは、しない」という意味です。
証明は簡単そうで実は大変です。
でも、これはま、証明無しで使って良いということにしても構わないでしょう。
なお、「普通は（？）」として紹介なさった証明でも、「√２＋√３が有理数でない」ことしか証明してありません。(b)が抜けていますから、ホントは「ゆえに、√２＋√３は無理数である」とは言えていないのです。

(c) どんなxであれ、xが有理数ならば、x^2は有理数である。
これは簡単ですね。
xが有理数であるとは、x=n/mとなる整数n,mが存在することです。x^2 = (n^2)/(m^2)であり、n^2もm^2も整数だから、x^2=N/Mとなる整数N,Mが存在する。ゆえにx^2は有理数である。（証明終わり）

(d) 5+2√6は無理数である。
証明してみましょう。

xが有理数、yが有理数のとき、x+yも有理数である。…(d1)
これはx,yを分数で表しておいて通分すれば証明できます。
xが有理数、yが有理数のとき、xyも有理数である。…(d2)
これも簡単ですね。すると、背理法が使えます。

5+2√6は有理数である…(d3)
と仮定する。
-5は有理数である。…(d4)
(d1)と(d3)と(d4)より
(5+2√6)+(-5)は有理数である。…(d5)
そして
(5+2√6)+(-5)=2√6…(d6)
だから、
2√6は有理数である。…(d7)
1/2は有理数である。…(d8)
(d2)と(d7)と(d8)より、
(2√6)(1/2)は有理数である。…(d9)
そして
(2√6)(1/2)=√6…(d10)
だから
√6は有理数である。…(d11)
(d11)と(a)から
√6は無理数ではない。…(d12)
ところが
√6は無理数である。…(d13)
ことは分かってるんだから、(d12)と(d13)から
√6は無理数であり、しかも、無理数ではない。…(d14)
これは矛盾です。従って、最初の仮定である(d3)は偽であると分かり、
5+2√6は有理数ではない。…(d3')
と分かります。（ここが背理法。）
さて、
5+2√6は有理数であるか、または無理数である。…(d15)
は証明を必要とするのですけれど、これはま、使って良いことにすると、
5+2√6は無理数である。…(d16)
が証明できます。

回答No.3

kito2002

専門家じゃありません。
文系の人間です。数学得意じゃありません。
パッと読んでの感想です。

＞(1)は、５＋２√６が無理数になる証明が必要

ならば、

＞（2)　有理数と仮定して、２乗しても有理数だ！
　ところが無理数になる

の“無理数になる”も（１）と全く同じ証明が必要になるのでは？

ポイント外してたらごめんないさい。

回答No.1

noname#24477

（ア）有理数の２乗は有理数
（イ）無理数の２乗は有理数または無理数

だから「２乗したものが無理数ならば元の数は無理数」
という推論は正しい。
これは（ア）の対偶になります。
対偶を証明するのは一種の背理法です。

逆が成り立つかどうかは関係ありません。