円に内接する正多角形

質問

原点を中心とする単位円に内接する正多角形を考えます。
この時、正多角形の頂点が有理点のみよりなるものって無数に存在しますか。
ただし正多角形は単位円にどのように内接させてもいいものとします。

回答No.3

f272

ピックの定理から，それは正方形に限ると言っていいんじゃないだろうか。

> ただし正多角形は単位円にどのように内接させてもいいものとします。

やり方はひとつしかないでしょう。

補足

回答ありがとうございます。

もう少しわかりやすく説明していただけませんか。

回答No.2

Rice-Etude

No.1です。
問題をよく見てなかったです。『正』多角形だったのを見落としていました。なので、No.1は無視して下さい。

補足

了解しました。
わかりにくい文章で誤解を与えてしまったようです。
失礼しました。

回答No.1

Rice-Etude

単位円ということは、半径1と考えてよいですよね？

であるなら、この問題は
「原点を中心とする半径1の円周上に、座標がx,yともに有理数となる点は無数に存在するか？」
というのと同義になります。

で、これは三平方の定理を満たす整数解が無数に存在するという事実から証明できます。

三平方の定理
a^2+b^2=c^2
これを満たす整数の組(a,b,c)（ただしa:b:cはそれぞれ違う比率となる）は無数に存在するものとする。
両辺をc^2で割る
(a/c)^2+(b/c)^2=1
よって、(x,y)=(a/c,b/c)とおけば、円周上の有理点となり、この解は無数に存在することから、有理点も無数に存在する。(QED)

補足

回答、ありがとうございます。

どうしてこの問題が、「原点を中心とする半径1の円周上に、座標がx,yともに有理数となる点は無数に存在するか？」と同義になるのでしょうか？