N進法を分かり易く教えて下さい。

質問

問題

２進法で「１０００１１０」で表される数がある。
次の問題に答えなさい。

(1)１０進法で表しなさい。

(2)５進法で表しなさい。

です。
宜しくお願いします。

回答No.3

queuerev2

記数法（Ｎ進法）そのものの解説はNo.1様とNo.2様のよい解説がありますので、
２つの記数法の間の変換方法についてもう少し解説致します。

やや無理矢理かもしれませんがまとめるなら、変換後の記数法でかけ算と足し算を行うか、返還前の記数法で割り算を行うかのどちらかの方法を使う、と言うことが出来ます。

Ｎ進法からＭ進法へ変換するとして

１．Ｍ進法でかけ算と足し算を行う方法
Ｎ進法の数の各桁についてＮ^（桁位置）をかけてそれらを合計する。計算はＭ進法で行う。（a^bはaのb乗をあらわします）
　２進法の数1000110を１０進法に変換するには、１０進法で以下のように計算する。
　2^6×1+2^5×0+2^4×0+2^3×0+2^2×1+2^1×1+2^0 = 64+4+2 = 70

２．Ｎ進法で割り算を行う方法
Ｎ進法の数をＭで割る。続けて商をＭで割り、商が０になったら終了。
あまりを下の桁から上の桁に順に並べたものが求めるＭ進法の数になる。
なお、割り算はＮ進法で行うことになる。
　１０進法の数70を５進法に変換するには、１０進法で以下のように計算する
　70÷5 = 14 あまり 0
　14÷5 = 2 あまり 4
　2÷5 = 0 あまり 2
　商が0になったのでこれで終了
　あまりを順に並べて　240

ご覧の通り、具体的な方法についてはNo.1様やNo.2様と同じです。

さらに付け加えると、通常は簡単に手計算を行うことが出来るのは１０進法だけなので、ＮかＭのどちらかが１０でない場合（たとえば２進法から５進法へ変換する場合）は、最初にＮ進法を１０進法に変換し、それをＭ進法に変換するのが素直なやり方になります。
質問者様が提示された問題もそのような構成になっていますね。
（長くなるので省略しますが、２進法または５進法で直接計算が出来るなら、２進法と５進法の間の変換も１０進法を使わずに１回でできます）

お礼

とても詳しく教えていただき有難うございました。
助かりました。

回答No.2

ereserve67

数aのN進表示をa(N)と書きます．

例：a(10)=123⇔a=1×10^2+2×10+3×1：ふつう10進表示するのでa=a(10)です．

(1)a(2)=1000110⇔a=1・2^6+0・2^5+0・2^4+0・2^3+1・2^2+1・2^1+0・2^0=64+4+2=70=a∴a(10)=70
(2)a(5)

5^3=125
5^2=25
5

であるから，

a=2・5^2+4・5+0

より

a(5)=240

※a(2)やa(5)やa(10)に表れた数字をみると，a(N)に現れる数字は0,1,・・・,N-1であることが分かります．Nになると次の桁に上がるわけです．例えば，a=75のとき

a=2・25+5・5+0だからa(5)=250とは書かないで，5・5は桁が上がってa=3・25,a(5)=300となります．

お礼

回答有難うございました。
助かりました。

回答No.1

asuncion

2進法で1000110という7桁で表わしている数は、いちばん右の桁から、
2の0乗=1
2の1乗=2
2の2乗=4
2の3乗=8
2の4乗=16
2の5乗=32
2の6乗=64
という重みがかかっています。

10進法で1234という4桁で表わしている数は、いちばん右の桁から
10の0乗=1
10の1乗=10
10の2乗=100
10の3乗=1000
という重みがかかっているので、
1×1000 + 2×100 + 3×10 + 4×1 = 1234となるのと同じ理屈です。
上記で述べた「何とかのn乗」の「何とか」が、
何進法であるか（上記の例では2進法、10進法）を示しています。

さて、 2進法で1000110という7桁で表わしている数を10進法で表わすと、
1×64 + 0×32 + 0×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1
=64 + 4 + 2
=70
となります。
これを5進法に直すには、「5で割ったあまりを右から書いていく（いちばん最後は商も）」という方法を用います。
なぜそうすればよいかは、10進法の70について、「2で割ったあまりを右から書いていく（いちばん最後は商も）」と
1000110になることで確認してください。

70÷5 = 14 ... 0
14÷5 = 2 ... 4
もう5で割れません。よって、2進法で1000110（つまり10進法で70）を
5進法で表わすと240となります。

確認
5進法で240という3桁で表わしている数は、いちばん右の桁から、
5の0乗=1
5の1乗=5
5の2乗=25
という重みがかかっています。
したがって、5進法で240という3桁で表わしている数を10進法で表わすと
2×25 + 4×5 + 0×1
=50 + 20
=70
確認終了

お礼

良くわかりました。
有難うございました。
助かりました。