ｎ進法

質問

ある数を５進法で示しても、７進法で示しても４ケタであった。この数を３進法で示すと何ケタになるか。

もう、全然わかりません。２進法までは理解しているつもりなのですが…。お願いします！

回答No.3

leaz024

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　ある数Aの、n進法における整数部の桁数mとの関係は
　　n^(m-1) ≦ A ＜ n^m
と表せます。
（「a^b」は「aのb乗」を表します。）

　また、Aをs進法で表したときの整数部の桁数は
　　[log(s,A)] + 1
と表せます。
（「[a]」は「aを超えない最大の整数」を表します。
　また「log(a,M)」は、「aを底とするMの対数」を表します。
　ちなみに「log(a,M)=X」は「a^X=M」と置き換えることが出来ます。）
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　これをこの問題に当てはめると、
　　5^3 ≦ A ＜ 5^4
　　7^3 ≦ A ＜ 7^4
となり、更に「5^3 ＜ 7^3」、「5^4 ＜ 7^4」なので、Aの範囲は
　　7^3 ≦ A ＜ 5^4
となります。

　Aを3進数で表した場合の桁数が知りたいので、３を底とするログを取ります。
　　[log(3,7^3)]+1 ≦ [log(3,A)]+1 ＜ [log(3,5^4)]+1　　…(1)
（「+1」は全ての項に含まれるので、ここで消去します。）

　ログは計算すると大変なのですが、ここでは整数部しか見ないので、３の累乗を書き出して、7^3と5^4がどこに当てはまるかを探せばよいことになります。

　　log(3,9)=2 , log(3,27)=3 , log(3,81)=4 , log(3,243)=5 , log(3,729)=6 , …

　7^3=343 , 5^4=625なので、(1)の式は
　　5 ＜ log(3,343) ≦ log(3,A) ＜ log(3,625) ＜ 6
となります。
　したがって答えは６桁です。紙に書いたのと違うから、ちょっと伝わりにくいかな…。とにかく「ｎ進法」「桁数」ときたら、対数です。

回答No.2

debuzou

２進法というのは０と１の２つの数字を使って様々な数値を表現していきますよね。ちなみに普段我々が使っているのが１０進法です。これは０～９までの１０個の数字を使っていきます。当然５進法は０～４までの５個の数字を使い、７進法は０～６までの７個の数字を使っていきます。

さて、４桁で表すことのできる５進法は１０００～４４４４までです。７進法は１０００～６６６６までです。そこで、このまま５進法や７進法のままでは考えにくいので、一度これを１０進法に直します。１０進法において、下１桁から順に１の位、１０の位、１００の位、１０００の位…と位が１０倍ずつ上がっていくように、５進法では５倍ずつ、７進法では７倍ずつ上がっていきます。したがって、５進法は下１桁から順に１の位、５の位、２５の位、１２５の位…となり、７進法では１の位、７の位、４９の位、３４３の位…となります。

次に、１０進法で１２３４という４桁の数は１の位が４、１０の位が３、１００の位が２、１０００の位が１となっています。したがって、１２３４＝１×４＋１０×３＋１００×２＋１０００×１という形で表すこともできます。
当たり前のようですが、これがｎ進法を１０進法に直すための考え方です。

では実際に、１０進法に直してみましょう。５進法の１０００は１の位が０、５の位が０、２５の位が０、１２５の位が１ですから、１×０＋５×０＋２５×０＋１２５×１＝１２５となり、これが１０進法に直した値となります。同様に、４４４４は１×４＋５×４＋２５×４＋１２５×４＝６２４となります。よって、４桁の５進法で表すことのできる数値の範囲は１０進法で１２５～６２４ということが分かります。
同じように７進法においても調べてみると３４３～２４００の範囲であると分かります。これらのことにより、「ある数を５進法で示しても、７進法で示しても４ケタであった」というのは１０進法で３４３～６２４の範囲のことだと分かるわけです。

では今度は、これらを３進法に直してみて、いったい何桁の数になるのかを調べてみましょう。普通、１０進法をｎ進法に直す場合、割り算の発想を使いその余りに注目して求めます。例えば、１０進法の３４３を３進法に直す場合は
３４３÷３＝１１４…１
１１４÷３＝ ３８…０
３８÷３＝ １２…２
１２÷３＝ ４…０
４÷３＝ １…１
と行い、最後の計算の商も含めて下から上に読みます。→１１０２０１
これが１０進法の３４３を３進法に直した値となります。
同様に１０進法の６２４を３進法に直すと２１２０１０となります。
これらのことにより、「この数を３進法で示すと」というのは１１０２０１～２１２０１０のことだと分かります。

以上のことにより、「何ケタになるか」という問いにたいして６桁というのが正解です。
いかがでしょうか？もし、分かりにくいようであれば、補足するので言ってください。

お礼

ありがとうございました！
大変よ～くわかりました。
また教えてください。
勉強がんばりまっす！(^_^)Ω

回答No.1

ametsuchi

計算違いがあるかもしれないのでご自分で確認を！

・5進法で、4桁ということは、125から624の間、
・7進法で、4桁ということは、343から2400の間、

従って、343から624までの間の数になります。

3^6=729
3^5=243

ですから、
・3進法で、6桁なら、243から728までで、343から624までという範囲を含みます。