e^(-x)の定義

質問

本に載っている微分方程式を解いたら、答えが

　　　　　Σ[i=0,∞] [ { (-1)^i }/i! * x^i ]

になったんですが、それが更に = e^(-x)　となるらしいです。
そうなる理由を知りたいです。

　　　　　e^x = Σ[k=0,∞] { (x^k)/k! }

というのは分かります。問題の式をこの形に近づけてみると、

　　　　　Σ[i=0,∞] [ (-1)^i * (x^i)/i! ]

になり、iが偶数か奇数かでそれぞれ符号が正と負に反転する以外はe^xと同じことが分かります。
でも、e^(-x)と言ったら、1/(e^x)と同じことですよね？
その一方で、Σ[i=0,∞] [ (-1)^i * (x^i)/i! ] = e^x or -e^xになりませんか？
収束する過程で一つ次のiの結果 ( = (-1)^(i+1) * { x^(i+1) }/(i+1)! ] ) を足していくからそうなるんですかね・・・？
混乱しています、どうか分かりやすく教えてください。お願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

e^x = Σ[k=0,∞]x^k/k!

においてxを-xに置き換えます．変わるのは

x^k→(-x)^k=(-1)^kx^k

のところです．だから

（☆）e^{-x} = Σ[k=0,∞](-1)^kx^k/k!

となります．掲載の式はこれのkをiと書いているだけです．

>でも、e^(-x)と言ったら、1/(e^x)と同じことですよね？

その通りです．しかし，

>Σ[i=0,∞] [ (-1)^i * (x^i)/i! ] = e^x or -e^xになりませんか？

これは正しくありません．正しいなら質問者様はe^(-x)=1/(e^x)（xの恒等式）を

e^(-x)= e^x or -e^x

と考えていることになります．この式がおかしいことは一目瞭然です．なぜなら，

e^(-x)= e^xならe^x=1,x=0を意味し，xの恒等式ではありません．

e^(-x)=-e^xなら左辺は正，右辺は負となり等式自体成立しません．

☆をそのまま受け入れれば何も問題ありません．

お礼

ありがとうございます。
なるほど、xを-xに置き換えるだけで

> （☆）e^{-x} = Σ[k=0,∞](-1)^k * x^k/k!

を導けたのですね。言われるまで気付きませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

(-1)^i * (x^i) = (-x)^i が解れば、解決。
全部の項に -1 がついた訳じゃないから、
-(e^x) にはなりません。

お礼

ありがとうございます。
確かに (-1)^i * (x^i) = (-x)^i と考えることもできましたね。
e^(x)の場合はΣ[k=0,∞] { (x^k)/k! }なので足していくだけでいいんでしょうけど、e^(-x)の場合は足したり引いたりしながら収束するんですよね・・・そこが混乱の原因です。もっと数列とか級数とか勉強します。
ありがとうございました。