∫(e^x/x^5)dx の求め方

質問

∫(e^x/x^5)dx の求め方
微分方程式を求めていきましたら、∫(e^x/x^5)dx となりました。ここからどのように展開していけばよろしいのでしょうか？宜しくお願い致します。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

x^2y''-5xy'+8y=e^x の解法ですが、これは2階線形微分方程式で、
オイラーの線形微分方程式と呼ばれる種類のようですね。

1.新たな変数tを用意し,x=e^tとする。
　D=d/dtとして、xy'=D(y)、x^2・y''=D^2(y)-D(y)　を得る。

2.与式をy,tの式で表すと
　D^2(y)-6D(y)+8y=e^(e^t)　と、2階の定数係数線形微分方程式（※）となる。

3.（※）の同次方程式D^2(y)-6D(y)+8y=0の解は、
　SATA_YUKI様も記載の特性方程式の通りで,これより
　y=C1・e^(2t)+C2・e^(4t) を得て、y=C1・x^2+C2・x^4 となる。

4.（※）の特殊解を求める。定数変化法を適用する。
　y=u・e^(2t)+v・e^(4t)　とおき、関数u,vを見出す。
　D(y)={D(u)e^(2t)+D(v)e^(4t)}+{2ue^(2t)+4ve^(4t)}
　ここで、右辺第1項=0（☆）　として、さらにD^2(y)を求め、（※）に代入すると、
　2D(u)e^(2t)+４D(v)e^(4t)=e^(e^t)　（★）を得る。
　☆、★より、D(u),D(v)を求め,さらにu,vを求めることで、特殊解を見出す。

5.最終的な解は、同次方程式の解(3.)+特殊解(4.)で表される。

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4.において、e^(e^t)での積分で,指数積分の関数Ei(e^t)が現れます。
定数変化法の解法の参考URLを示しておきます。

お役に立てていると良いのですが・・・

参考URL：

http://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/De-03m2.pdf

お礼

aquatarku5様ご丁寧なご説明ありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.1

aquatarku5

部分積分を繰り返し適用すると,
I=∫(e^x/x^5)dx
=e^x(-1/(4x^4))-∫e^x(-1/(4x^4))dx
＝
…
=-e^x/24・(6/x^4+2/x^3+1/x^2+1/x)＋1/24・∫(e^x/x)dx

右辺第2項は,「指数積分」Ei(x)に相当,初等関数では表せないようです。

以下参考
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86

補足

ご連絡ありがとうございます。
私は x^2y''-5xy'+8y=e^x を求める中で出てきてしまいました。
私はまず、同次形 x^2y''-5xy'+8y=0 を求めました。特性方程式から y=C1・e^(2t)+C2・e^(4t) を得て、y=C1x^2+C2x^4 としました。
y=C1x^2+C2x^4 をもって、x^2y''-5xy'+8y=e^x を求めていったのですが・・・
もし宜しければ、x^2y''-5xy'+8y=e^x はどのように求めていけばよろしいのかアドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。