変数係数2階線形微分方程式

質問

変数係数2階線形微分方程式の問題です。
x^2*y(x)''+2x*y(x)'-iαy(x)=0
i:複素数，α:定数

この微分方程式はどのようにして解けばよろしいでしょうか？
できるだけ計算過程を詳しくお願いします。

解にはベッセル関数が用いられるみたいです。
自分でベッセルの微分方程式と同様にして解いていっても途中でつまずいてしまいます。

お手数ですがよろしくお願いしたします。

回答No.5

mmitsukuni

２階線形同次微分方程式は，何らかの方法でf(x)とg(x)の２つ独立した
特殊解を得れば，一般解は，y=Af(x)+Bg(x)となることが示されます．

係数が定数であれば容易にe^(ax)といった特解が求まりますが，
係数に変数を含む場合は一般的には解けません．

したがって，解法が知られている「○○の微分方程式」というような形に持ち込むしかありませんが・・・

私も少し調べては見たのですが，いまのところ変数変換程度で解ける解法は知りません．

「ベッセルの微分方程式」の解法みたいに，無限級数による法もありますが，
これも解が○○関数になると言うことが分かっていないときわめて困難です．

回答No.4

mmitsukuni

よく見たら，補足質問の式も，間違ってませんか？
x^2*y(x)''+2x*y(x)'-iα*x^2*y(x)=0
この式は，ｘが共通にかかってますので
x*y(x)''+2y(x)'-iα*x*y(x)=0
となりますが・・・・・

補足

ご回答ありがとうございます。

x*y(x)''+2y(x)'-iα*x*y(x)=0
となった場合解法はどのようになるかわかりますでしょうか？

回答No.3

mmitsukuni

あっ！　補足質問をよく見てませんでした．

x^2*y(x)''+2x*y(x)'-iα*x^2*y(x)=0

それは明らかに「オイラーの微分方程式」ではありません．

それで，「ベッセルの微分方程式」は最後の項が（x^2-n^2)y　の形ですが，
質問の式は，その形には変形できそうにありませんので，
ベッセル級数を使った同じ方法では難しいのではないかとおもいます．

うーん，超越関数論のテキストかなんかで別の解法を探す方が早道ですね．

回答No.2

mmitsukuni

複素数の定数も，単なる定数です．

解法のあらすじは，次の通り．
x^2*y(x)''+2x*y(x)'－iαy(x)=0
x＝e^t とおいて dx=(e^t)dt などを用いて・・・

yの変数xをtに置換したものをY，以下Y'はtについての微分を表す
Y''＋Y'－iaY＝0
これは定数係数線形同次方程式で，その特性方程式は
λ^2＋λーia＝0

(複素数を含む)定数係数の２次方程式は，複素数の範囲で２根を持ちます．
もちろん通常の根の公式が使えます．
ただし，√(判別式)＝Δ＝√(1＋4ai) 　は，根号の中が実数ではなく複素数になります．
複素数に関するオイラーの公式を利用することを考えて
|-1＋4ai|＝√(1+16a^2))=r^2，arctan(ー4a)＝2θ とおくと
-1＋4ai＝(r^2)e^(i2θ)　となり，
Δ＝{(r^2)e^(i2θ)}^(1/2)＝re^(iθ)＝r(cosθ＋isinθ）となる．

したがって，特性方程式の根は，λ＝(-1±Δ)/2 として求まりますが
Δが複素数なので，2根は共役複素数にはなりません．

煩雑なので，この2根をμ，βと書けば，Ａ，Ｂを任意の定数として

Y＝Ａe^(μt)＋Ｂe^(βt)　として，Yが求まります．

Yの式を t＝logx で変数変換すれば，xについてのyが求まります．

初めの問題の係数が実数定数なら，特性方程式の根が(実数でない場合)共役複素数
となり，まとめると，最終結果はe,sin,cos を含む振動解(実数関数)となりますが，
この問題の場合はそうではないので，yは複素関数になるのではないかと思います．
注．複素関数とは一般的には変数も複素数の関数をいうが，この場合は関数値が複素数．

これ以上は質問者の方でやって下さい．

回答No.1

mmitsukuni

それは「ベッセルの微分方程式」（解がベッセル関数を含む）ではなく
「オイラーの微分方程式」というのですね．
x=e^t とおくと定数係数2階微分方程式になりますので，容易に解くことが出来ます．
解法については，ネットで「オイラーの微分方程式」で検索してみてください，
沢山見つかります．

補足

ご回答ありがとうございます。
大変申し訳ないのですが質問の式が

x^2*y(x)''+2x*y(x)'-iα*x^2*y(x)=0
i:複素数　α：定数
の間違いでした。

この式の場合でもオイラーの微分方程式と呼べるのでしょうか？