部分積分法について

質問

微分方程式の問題を解いているときに出てきた式

∫(logt/t)×(1/t)dt

を部分積分法で解くと

(-1/t)logt+∫(1/t)(1/t)dt

となるらしいのですが、自分で解くと

∫(logt/t)dt

であることから解がlogtとなり、部分積分の公式に代入すると「+」よりも前の式が

(1/t)logt

というように「－」が付きません
以上の解き方は間違っているのでしょうか？

正しい解き方を教えてください

回答No.1

muneneko · ベストアンサー

∫(logt/t)(1/t)dt

= ∫(-1/t)'logt dt ※(-1/t)をtで微分すると1/t^2なので

= (-1/t)logt - ∫(-1/t)(logt)'dt

= (-1/t)logt + ∫(1/t)(1/t)dt

お礼

回答ありがとうございました
最初の式をlogtと1／t＾2に分ける考えがありませんでした
短的で分かりやすかったです

回答No.2

MarcoRossiItaly

「∫(t を含む式)dt」とあるときに、「t を含む式」を 2 分割してそれぞれを積分することを部分積分と呼ぶわけですが、この場合、「×(1/t)」だけを切り離して別個に考えてはいけません。

また、括弧の付け方が厳密にはたぶん誤っています。正しくは、

∫{(log t)/t × (1/t)}dt = ∫(log t)/t^2 dt

と書くところなのだろうと思われます。後はご自分で計算できますね？

分子分母を 1 行で書くと、上のように括弧がたくさん付いて煩わしいですね。分子分母を上下に分けて書けば、添付図のとおり括弧がなくなってスッキリです。

ここから先は、ご参考の話。ご質問の問題を解くには以上で終わりなのですが、あえて「×(1/t)」がない場合も考えてみると、

∫(log t)/t dt = (log t)^2 - ∫(log t)/t dt

これを移項して整理すると（積分定数は省略）、

2∫(log t)/t dt = (log t)^2

∴∫(log t)/t dt = (1/2)(log t)^2

この結果は、置換積分と同じです。つまり log t = x と置けば dx/dt = 1/t なので（積分定数は省略）、

∫(log t)/t dt = ∫x/t dt = ∫(x/t)(dt/dx)dx = ∫(x/t)×t×dx = ∫xdx = (1/2)x^2 = (1/2)(log t)^2

と、同じ結果になっていますね？この被積分関数 (log t)/t は、慣れればイチイチ置換しなくても、見ただけで答え (1/2)(log t)^2 が出る感じなのです。いずれにしても質問者さんによる計算は、どこか違ってしまいましたね。