こんばんは。
左辺が 0 → ∞ の定積分ということですので、
これは定数 C とおいてよいことになります。
(1) ∫ [0→∞] x dx = C
です。結局この問題は
(2) (t^2) (dx/dt) - 2t x = 4C
という単純な１階微分方程式の問題に帰着できます。
まずは斉次方程式を変数分離して解きます。
(3) (t^2) (dx/dt) - 2t x = 0
⇔ (1/x) (dx/dt) = (2/t)
⇔ ∫ (1/x) dx = 2 ∫ (1/t) dt
⇔ ln(x) = 2 ln(t) + c
⇔ x = A t^2
ここで A が t の関数 A(t) であるとすれば、
これを(2)式に代入して
(4) (t^2) { (dA/dt) t^2 + A (2t) } - 2t (A t^2) = 4C
⇔ (dA/dt) = 4C t^(-4)
⇔ A = -(4C/3) t^(-3) + B
ただし B は定数です。これを(3)式の解に代入すれば
(5) x = { -(4C/3) t^(-3) + B } t^2
= -(4C / 3t) + B t^2
となります。
さて、この x は t → ∞ の極限で 0 になるわけですから、
t の ２次の項は明らかに 0 でないとダメです。
すなわち B = 0 ですから、結局
(6) x = -(4C / 3t)
がこの微分方程式の解となります。
ちなみにこの関数は x → +0 で -∞ に発散しますから、
0 → ∞ の広義積分 C の値を決めることは出来ません。
この積分が収束するのは C = 0 すなわち x = 0 の時だけです。
お礼
有難うございました。 大変参考になりました。