積分を含んだ微分方程式が解けません（>_<）

質問

解いていただきたい微分方程式は以下の式です。

4∫x dt = t^2 ・ x’-2t x

x=x(t)で、積分範囲はtが0から∞、t=∞のときはx=0です。
よろしくお願いします。

回答No.2

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは。

左辺が 0 → ∞ の定積分ということですので、
これは定数 C とおいてよいことになります。

　(1)　　∫ [0→∞] x dx = C

です。結局この問題は

　(2)　　(t^2) (dx/dt) - 2t x = 4C

という単純な１階微分方程式の問題に帰着できます。
まずは斉次方程式を変数分離して解きます。

　(3)　　(t^2) (dx/dt) - 2t x = 0
　　　　　　⇔　(1/x) (dx/dt) = (2/t)
　　　　　　⇔　∫ (1/x) dx = 2 ∫ (1/t) dt
　　　　　　⇔　ln(x) = 2 ln(t) + c
　　　　　　⇔　x = A t^2

ここで A が t の関数 A(t) であるとすれば、
これを(2)式に代入して

　(4)　　(t^2) { (dA/dt) t^2 + A (2t) } - 2t (A t^2) = 4C
　　　　　　⇔　(dA/dt) = 4C t^(-4)
　　　　　　⇔　A = -(4C/3) t^(-3) + B

ただし B は定数です。これを(3)式の解に代入すれば

　(5)　　x = { -(4C/3) t^(-3) + B } t^2
　　　　　　= -(4C / 3t) + B t^2

となります。
さて、この x は t → ∞ の極限で 0 になるわけですから、
t の ２次の項は明らかに 0 でないとダメです。
すなわち B = 0 ですから、結局

　(6)　　x = -(4C / 3t)

がこの微分方程式の解となります。

ちなみにこの関数は x → +0 で -∞ に発散しますから、
0 → ∞ の広義積分 C の値を決めることは出来ません。
この積分が収束するのは C = 0 すなわち x = 0 の時だけです。

お礼

有難うございました。
大変参考になりました。

回答No.1

Tacosan

定積分は定数だ.